T11.GT.II.3. Nhị thức Newton

1. Công thức nhị thức Newton

            Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên dương ta có:

(a + b)n = con an + c1n an – 1 b + c2n c1n – 2 b2 + … + ck n an-k bk + …+ cnnbn   $=\sum\limits_{k=n}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\,(*)$

2. Các nhận xét về công thức khai triển

+ Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở vế trái.

+ Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n.

+ Các hệ số của khai triển lần lượt là:            C0n;        C1n;      C2n; … Cn-1n;   Cnn;

Chú ý: Ckn = Cnn–k      0 < k < n.  $C_{n}^{k}=\frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}$

3. Một số dạng đặc biệt

+ Dạng 1

Thay a = 1; b = x vào (*) được: (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + …+ Cn-1n xn-1 + Cnn xn

+ Dạng 2

Thay a = 1; b = -x vào (*) được(1 – x)n = C0n – C2n x+ C2nx2 +  …+ (-1)n Cnn xn

4. Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức

+ Thay x = 1 vào (2) ta được:             C0n + C1n  + C2n + …+ Cnn  = 2n

+ Thay x = -1 vào (3) ta được:

  • ${C^0}_n – {\rm{ }}{C^1}_n\;{\rm{ }} + {\rm{ }}{C^2}_n – {\rm{ }} \ldots + {\rm{ }}{\left( { – 1} \right)^n}{C^n}_n\;{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ (Với mọi n)
  • ${C^0}_n\; + {C^2}_n + {C^4}_n \ldots + {\rm{C}}_n^{n – 1} = C_n^1 + {C^3}_n + … + {C^n}_n$ (Với n lẻ)
  • ${{S}_{2}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+…+C_{n}^{n}={{2}^{n-1}}$(tổng các hệ số với k chẵn)
  • $S{{‘}_{2}}=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+…+C_{n}^{n-1}={{2}^{n-1}}$(tổng các hệ số với k lẻ).

5. Tam giác Paxcal

n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
n=7 1 7 21 35 35 21 7 1

Chú ý: ${\rm{C}}_{n – 1}^{k – 1}{\rm{ + C}}_{n – 1}^k = C_n^k$; $\forall k \in N;0 \le k \le n$.

=>Điều này có nghĩa là: Trừ các số đầu và cuối bằng 1. Tổng hai số hàng trên bằng số ngay hàng dưới.

Ví dụ: 5+10=15 (n=6)…..

Một số qui luật được rút ra từ tam giác Paxcal.

Qui luật 1. Hai số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau.

Qui luật 2. Từ cột thứ 2 ta có nhận xét: 1+2+3+4+5+6=C27 và số hàng dưới lớn hơn số hàng trước 1 đơn vị. Nghĩa là: $1 + 2 + 3 + … + n = C_{n + 1}^2$

Qui luật 3. Từ cột thứ 3.  Mỗi số hàng sau cách số hàng trước bằng khoảng cách giữa hai số hàng trước cộng thêm 1 đơn vị. Nghĩa là: $C_n^3 – C_{n – 1}^3 = C_{n – 1}^3 – C_{n – 2}^3 + 1$

hay $C_n^3 – 2C_{n – 1}^3 + C_{n – 2}^3 = 1$.

6. Ví dụ minh họa

Dạng 1. Viết khai triển

Ví dụ 1: Thực hiện khai triển:  (3x – 4)5.

Giải

Ta có (3x – 4)5 $=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}}{{(3x)}^{5-k}}.{{(-4)}^{k}}$    = 35. C05 . x5 + 4.34 C15 x4 + … + 45 C55

= 243x5 – 1620 x4 + 4320 x3 – 5760 x2 + 3840 x – 1024.

Dạng 2: Tính tổng của các biểu thức sử dụng khai triển

Một số khai triển thường dùng trong tính tổng

  • ${{2}^{n}}={{\left( 1+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}=}C_{n}^{n}+C_{n}^{n-1}+…+C_{n}^{0}$
  • $0={{\left( 1-1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n}^{k}=}C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+…+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}$
  • ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}=}C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+…+C_{n}^{n}{{x}^{0}}$
  • ${{\left( 1-x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{k}{{x}^{k}}=}C_{n}^{0}{{x}^{0}}-C_{n}^{1}{{x}^{1}}+…+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{n}}$
  • ${{\left( x-1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}=}C_{n}^{0}{{x}^{n}}-C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+…+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{0}}$

Ví dụ: Tính tổng: A = C05 + 2C15 + 22 C25 + … +25 C55

Giải

Ta có:  ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}=}C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+…+C_{n}^{n}{{x}^{0}}$

Áp dụng với x=2 và n=5 ta được A=(1+2)5=35=243.

Ví dụ 2. Tính: B = 317. C017 – 41. 316. C117 + 42. 315. C217 – 43.314. C37 + …-417.C1717.

Giải

Ta có: ${\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)^n} = {\rm{ }}{c^o}_n{a_n} + {\rm{ }}{c^1}_n{a^{n{\rm{ }}–{\rm{ }}1}}b{\rm{ }} + {\rm{ }}{c^2}_n{c_1}^{n{\rm{ }}–{\rm{ }}2}{b^2} + {\rm{ }} \ldots {\rm{ }} + {\rm{ }}{c^k}_n{a^{n – k}}{b^k} + {\rm{ }}… + {\rm{ }}{c_n}^n{b^n}$

Áp dụng với a=3;b=4 và n=17 ta có B=(3-4)17=-1

Dạng 3.  Tìm lũy thừa của khai triển           

Ví dụ: Tìm số nguyên dương n sao cho:      Con + 2 C1n + 4 C2n + … + 2n Cnn = 243         (1)

Giải: Ta có

Con + 2 C1n + 2 C2n + … + 2n Cnn = (1 + 2)n = 3n

Vậy (1) <=> 3n = 243 = 35 <=> n = 5

Dạng 4. Tìm hệ số (tìm số hạng) trong khai triển

Phương pháp: Với các yêu cầu về hệ số trong khai triển NEWTON, ta cần lưu ý:

  1. Ta có: ${{\left( \text{a }+\text{ b} \right)}^{\text{n}}}\text{ }=\text{ }\sum\limits_{k=0}^{n}{{}}C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}$. Do đó hệ số của số hạng thứ i+1 là Cin
  2. Ta có ${{({{x}^{\alpha }}+{{b}^{\beta }})}^{n}}={{\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}({{x}^{\alpha \,\,}})}}^{n-i}}{{({{x}^{\beta }})}^{i}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{x}^{\alpha (n-i)+\beta }}}$

Do đó: Hệ số xk trong khai triển trên là Cin với i là nghiệm của phương trình a ( n – i) +b i  = k

Đặc biệt khi k = 0 đó chính là số hạng không phụ thuộc x.

Ví Dụ 1: Biết rằng trong khai triển ${{\left( x-\frac{1}{3} \right)}^{n}}$có hệ số của hạng tử thứ ba bằng 5. Tìm số hạng chính giữa.

Giải:  Hệ số thứ 3 trong KT là : ${{T}_{2}}=\frac{1}{3}C_{n}^{2}=5\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n-2)!}=45\Leftrightarrow n(n-1)=90$ ó n = 10 hoặc n = -9 (loại)

Khi n = 10 thì khai triển  sẽ có 11 số hạng.

Do đó số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 đó là: $C_{10}^{5}{{x}^{5}}{{(-\frac{1}{3})}^{3}}=-\frac{28}{27}{{x}^{5}}$

III. Bài tập áp dụng

Bài tập 1. Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển ${{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{10}}$.

Bài tập 2. Tìm hệ số của số hạng thứ 31 trong khai triển ${{\left( x+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{40}}$.

Bài tập 3. Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau:  ${{\left( \frac{x}{3}+\frac{3}{x} \right)}^{12}}$

Bài tập 4. Tìm hệ số của x12y13 trong khai triển của (2x-3y)25.

Bài tập 5. Cho ${{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{n}}$. Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, hai, ba là 46. Tìm số hạng không chứa x.


Xem thêm:


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!