T10.HH.III.1. Đường tròn

     A. Lý thuyết

    I. Phương trình đường tròn

    Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I cố định và số dương R. Tập hợp các điểm M thuộc mặt phẳng sao cho khoảng cách từ M đến I luôn bằng R là đường tròn tâm I bán kính R.

    Kí hiệu: O(I,R)

    Vậy: $O\left( {I,R} \right) = \left\{ {M \in 0xy|IM = R} \right\}$

    1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

    Phương trình đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

    Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R.
    Ta có: \(M\left( {x;y} \right) \subset \left( C \right) \Leftrightarrow IM = R\)
    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2}} = R\\ \Leftrightarrow {\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2} \end{array}\)
    Vì vậy, phương trình \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R

    Phương trình đường tròn (C) tâm O(0; 0), bán kính R:  x2 + y2 = R2 (2)

    Ví dụ 1: Cho hai điểm (A(3; –4), B(–3; 4). Viết pt đường tròn (C) đường kính  AB.

    Giải

    + Tâm I là trung điểm của AB

    + Bán kính R = $\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$

    Þ (C): x2 + y2 = $\frac{25}{4}$

    Ví dụ 2: Lập pt đường tròn (C) có tâm I(–2; 3) và đi qua M(2; –3).

    Giải

    Ta có: R = IM = $\sqrt{52}$

    => (C): (x + 2)2 +(y – 3)2 = 52.

    Ví dụ 3. (C): (x + 1)2 +(y –5)2 = 16. Xác định tâm và tính bán kính của (C).

    Giải

    Ta có: a=-1; b=5=> Tâm: I(-1;5).

    Ta có: R2=16=>Bán kính : R=4.

    2. Phương trình đường tròn dạng khai triển

    Phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (3)

    với a2 + b2 – c > 0 là phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R = $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$.

    Phương trình đường tròn: \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) <=> \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{ax}} – 2by + c = 0\)

    trong đó: \(c=a^2+b^2-R^2\).

    Ngược lại, ta có:

    $\begin{array}{l}
    {x^2} + {y^2} – 2{\rm{ax}} – 2by + c = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2{\rm{ax + }}{{\rm{a}}^2}} \right) + \left( {{y^2} – 2by + {b^2}} \right) = {a^2} + {b^2} – c\\
    \Leftrightarrow {\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} – c
    \end{array}$

    Suy ra: phương trình \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{ax}} – 2by + c = 0\) là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} – c > 0\).

    Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)

    Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn?

    a) 2x2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0

    b) x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0

    c) x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0

    Giải

    a) Không, vì các hệ số của x2, y2 không bằng nhau.

    b) Có, vì a2 + b2 – c > 0

    c) Không, vì a2 + b2 – c < 0

    Ví dụ 2. Cho đường tròn (C) có pt: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0. Tìm toạ độ tâm và tính bán kính.

    Giải

    Ta có:

    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {2a = – 4}\\
    {2b = 8}\\
    {c = – 5}
    \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {a = – 2}\\
    {b = 4}\\
    {{a^2} + {b^2} – c = {{( – 2)}^2} + {4^2} – ( – 5) = 25}
    \end{array}} \right.$

    Vậy: I(-a;-b)=(2; –4); ${R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} = 5}$.

    Ví dụ 2. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
    a) \({x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} – 6y + 16 = 0\)
    b) \(4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} – 16y + 10 = 0\)
    Giải
    a) \(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} – 6y + 16 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8{\rm{x}} + 16 + {y^2} – 6y + 9 = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = {3^2} \end{array}\)
    Nên đường tròn có tâm I(-4;3) và bán kính R = 3.
    b) \(\begin{array}{l} 4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} – 16y + 10 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{{5{\rm{x}}}}{4} – 4y + \frac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.\frac{5}{8} + \frac{{25}}{{64}} + {y^2} – 4y + 4 = \frac{{121}}{{64}}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{5}{8}} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = {\left( {\frac{{11}}{8}} \right)^2} \end{array}\)
    Nên đường tròn có tâm \(I\left( {\frac{{ – 5}}{8};2} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{11}}{8}\)

    Ví dụ 3. Lập pt đường tròn (C) đi qua 3 điểm A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2).

    Giải

    Gọi phương trình đường tròn là: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (*).

    Thay tọa độ các điểm A; B; C và phương trình ta được hệ:

    $\left\{ \begin{array}{l}
    4 + 16 + 4a – 8b + c = 0\\
    25 + 25 – 10a – 10b + c = 0\\
    36 + 4 – 12a + 4b + c = 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a = – 2\\
    b = – \frac{1}{2}\\
    c = – 20
    \end{array} \right.$

    Vậy phương  trình đường tròn có dạng: x2 + y2+ 4x +y -20 = 0

    II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

    Định lý: Cho đường tròn (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2 và điểm M0(x0;y0) thuộc (C).

    Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là:

    \(\left( {{x_0} – a} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {{y_0} – b} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)

    Cho điểm \(M_0\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn tâm I(a;b). Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của (C) tại \(M_0\)
    Ta có \(M_0\) thuộc \(\Delta\) và vectơ \(\overrightarrow {I{M_0}} = \left( {{x_0} – a;{y_0} – b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\). Do đó, \(\Delta\) có phương trình là:
    \(\left( {{x_0} – a} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {{y_0} – b} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)
    Đây chính là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) tại điểm \(M_0\) trên đường tròn.

    Ví dụ 1. Cho đường tròn có phương trình là: x2 + y2+4x +4y -17 = 0.

    Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn tại điểm M(2;1).

    Giải

    Phương trình có dạng: (x+2)2+(y+2)2=25

    Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M(2;1) là:

    (2+2)(x -2)+ (1+2)(y-1) = 0

    ⇔ 4x + 3y-11 = 0.

    B. Trắc nghiệm

    Câu 1: Cho đường tròn (C) có phương trình: ${x^2} + {y^2} + 2x – 8y = 0$ . Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R là:

    • A. I(2;-8), R=2√2
    • B. I(1;-4), R=3
    • C.  I(-1;4), R=3
    • D. I(1;-4), R=2√2
    Câu 2: Phương trình đường tròn có tâm I(3; -5) và có bán kính R = 2 là
      • A.  x2+y2+3x-5y+2=0
      • B. x2+y2+6x-10y+30=0
      • C.  x2+y– 6x+10y-4=0
      • D. x2+y2-6x+10y+30=0

      Câu 3: Phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 6), B(-3; 2) là

      • A. x2+y2+2x-8y+9=0
      • B. x2+y2-2x+8y+9=0
      • C. x2+y2+2x-8y-15=0
      • D.  x2+y2-2x+8y-15=0

      Câu 4: Phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1; 3), B(1; 4), C(3; 2) là:

      • A. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{3}x – \frac{{11}}{3}y + \frac{2}{3} = 0\)
      • B. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{2}x – \frac{{11}}{3}y – \frac{2}{3} = 0\)
      • C. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{6}x – \frac{{11}}{6}y – \frac{2}{3} = 0\)
      • D. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{6}x – \frac{{11}}{6}y + \frac{2}{3} = 0\)

      Câu 5. Cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2-6x+4y-12=0. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A(-1; 1) là:

      • A.  4x – 3y +7 = 0
      • B. 4x + 3y + 1= 0
      • C.  3x + 4y – 1 = 0
      • D.  3x – 4y + 7 = 0

      Câu 6.  Cho đường tròn (C) : (x – 3)2 + (y – 1)2 = 10. Phương trình tiếp
      tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là

      • A. x – 3y + 8 = 0.
      • B. x + 3y – 16 = 0.
      • C. 2x – 3y + 5 = 0 .
      • D. x + 3y – 16 = 0.

      Chọn D.

      Câu 7.  Cho đường tròn (x – 3)2 + (y + 1)2 = 5.  Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là

      • A. 2x + y = 0; 2x + y – 10 = 0
      • B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y – 1 = 0
      • C. 2x – y + 1 = 0; 2x + y – 10 = 0
      • D. 2x + y = 0; x + 2y – 10 = 0

      Chọn A.

      Câu 8. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0,
      biết tiếp tuyến đi qua điểm B( 4; 6) .

      • A. x – 4 = 0 hoặc 3x + 4y – 36 = 0
      • B. x – 4 = 0 hoặc y – 6 = 0.
      • C. y – 6 = 0 hoặc 3x + 4y – 36 = 0
      • D. x – 4 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0

      Chọn D.

      Câu 9. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm M(2; 1) là:

      • A. d: -y + 1 = 0
      • B. d: 4x + 3y + 14 = 0
      • C. d: 3x – 4y – 2 = 0
      • D. d: 4x + 3y – 11 = 0

      Chọn D.

      Câu 10. Cho đường tròn ( C): (x-1)2 + (y + 2)2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3; -4) .
      • A. d: x + y + 1 = 0
      • B. d: x – 2y – 11 = 0
      • C. d: x – y – 7 = 0
      • D. d: x – y + 7 = 0

      Chọn C.

      Câu 11. Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 25 và điểm M(9; -4). Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C),  biết ∆ đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến ∆ bằng:

      • A. 2
      • B. 3
      • C. 4
      • D. 5

      Chọn B.

      Câu 12. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn
      (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 11 = 0?

      • A. 0.
      • B. 2.
      • C. 1.
      • D. 3.

      Chọn A.

      Câu 13. Cho đường tròn (C): (x-3)2 + (y + 3)2 = 1. Qua điểm M(4; -3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) ?

      • A. 0.
      • B. 1.
      • C. 2.
      • D. Vô số.

      Chọn B.

      Câu 14. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn
      (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4?

      • A. 0.
      • B. 1.
      • C. 2.
      • D. Vô số.

      Chọn C.

      Câu 15. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 5; -2).

      • A. x – 5 = 0 .
      • B. x + y – 3 = 0 hoặc x – y 7 = 0.
      • C. x- 5= 0 hoặc x + y – 3 = 0 .
      • D. y + 2 = 0 hoặc x – y – 7 = 0 .

      Chọn B.

      Câu 16: Cho đường tròn ( C) có tâm I(1; 3), bán kính R= √52. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d:

      • A. x + 2y + 3 = 0
      • B. 2x + 5y + 21 = 0
      • C. 2x – 3y – 19 = 0
      • D. Đáp án khác

      Chọn C.

      Câu 17: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x2 + y2 – 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là:

      • A. d: x + 3y – 2 = 0
      • B. d: x – 3y + 4 = 0
      • C. d: x – 3y – 4 = 0
      • D. d: x + 3y + 2 = 0
      Đáp án: DCâu 18: Cho đường tròn( C): x2 + y2 – 2x + 8y – 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Tiếp tuyến của (C) xuất phát tại M tiếp xúc (c) tại H.  Độ dài đoạn MH là :
      • A. 10
      • B. 2√10
      • C. 2
      • D. √10
      Đáp án: DCâu 19: Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 – 3x – y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là:
      • A. x + 3y – 1 = 0
      • B. 2x – 3y + 1 = 0
      • C. 2x – y + 4 = 0
      • D. x + 3y + 2 = 0
      Đáp án: DCâu 20: Cho đường tròn (x – 3)2 + (y – 1)2 = 10 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm A( 4; 4) là
      • A. x – 3y + 5 = 0
      • B. x + 3y – 4 = 0
      • C. x – 3y + 16 = 0
      • D. x + 3y – 16 = 0
      Đáp án: DCâu 21: Cho đường tròn (x – 2)2 + (y – 2)2 = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là
      • A. x + y – 4 = 0 và x – y – 2 = 0 .
      • B. x = 5 và y = -1.
      • C. 2x – y – 3 = 0 và 3x + 2y – 3 = 0.
      • D. 3x – 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0
      Đáp án: BCâu 22: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y – 15 = 0 là
      • A. x + 2y = 0 và x + 2y – 10 = 0.
      • B. x – 2y = 0 và x – 2y + 10 = 0.
      • C. x + 2y – 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0
      • D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0
      Đáp án: ACâu 23: Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng d: 2x + (m – 2)y – m – 7 = 0. Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của (C).
      • A. m = 3
      • B. m = 15
      • C. m = 13
      • D. m = 3 hoặc m = 13.
      Đáp án: D
      ————-

      Xem thêm: Các dạng bài tập cơ bản về phương trình đường tròn.


      0 Bình luận

      Trả lời

      Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

      error: Content is protected !!