T10.HH.III.1. Đường tròn

 A. Lý thuyết

I. Phương trình đường tròn

Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I cố định và số dương R. Tập hợp các điểm M thuộc mặt phẳng sao cho khoảng cách từ M đến I luôn bằng R là đường tròn tâm I bán kính R.

Kí hiệu: O(I,R)

Vậy: $O\left( {I,R} \right) = \left\{ {M \in 0xy|IM = R} \right\}$

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

• Phương trình đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R: (x – a)² + (y – b)² = R² (1)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R.
Ta có: \(M\left( {x;y} \right) \subset \left( C \right) \Leftrightarrow IM = R\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2}} = R\\ \Leftrightarrow {\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2} \end{array}\)
Vì vậy, phương trình \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R

• Phương trình đường tròn (C) tâm O(0; 0), bán kính R:  x² + y² = R² (2)

Ví dụ 1: Cho hai điểm (A(3; –4), B(–3; 4). Viết pt đường tròn (C) đường kính  AB.

Giải

+ Tâm I là trung điểm của AB

+ Bán kính R = $\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$

Þ (C): x² + y² = $\frac{25}{4}$

Ví dụ 2: Lập pt đường tròn (C) có tâm I(–2; 3) và đi qua M(2; –3).

Giải

Ta có: R = IM = $\sqrt{52}$

=> (C): (x + 2)² +(y – 3)² = 52.

Ví dụ 3. (C): (x + 1)² +(y –5)² = 16. Xác định tâm và tính bán kính của (C).

Giải

Ta có: a=-1; b=5=> Tâm: I(-1;5).

Ta có: R²=16=>Bán kính : R=4.

2. Phương trình đường tròn dạng khai triển

Phương trình: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (3)

với a² + b² – c > 0 là phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R = $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$.

Phương trình đường tròn: \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) <=> \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{ax}} – 2by + c = 0\)

trong đó: \(c=a^2+b^2-R^2\).

Ngược lại, ta có:

$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} – 2{\rm{ax}} – 2by + c = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2{\rm{ax + }}{{\rm{a}}^2}} \right) + \left( {{y^2} – 2by + {b^2}} \right) = {a^2} + {b^2} – c\\
\Leftrightarrow {\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} – c
\end{array}$

Suy ra: phương trình \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{ax}} – 2by + c = 0\) là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} – c > 0\).

Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn?

a) 2x² + y² – 8x + 2y – 1 = 0

b) x² + y² + 2x – 4y – 4 = 0

c) x² + y² – 2x – 6y + 20 = 0

Giải

a) Không, vì các hệ số của x², y² không bằng nhau.

b) Có, vì a² + b² – c > 0

c) Không, vì a² + b² – c < 0

Ví dụ 2. Cho đường tròn (C) có pt: x² + y² – 4x + 8y – 5 = 0. Tìm toạ độ tâm và tính bán kính.

Giải

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2a = – 4}\\
{2b = 8}\\
{c = – 5}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = – 2}\\
{b = 4}\\
{{a^2} + {b^2} – c = {{( – 2)}^2} + {4^2} – ( – 5) = 25}
\end{array}} \right.$

Vậy: I(-a;-b)=(2; –4); ${R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} = 5}$.

Ví dụ 2. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) \({x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} – 6y + 16 = 0\)
b) \(4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} – 16y + 10 = 0\)
Giải
a) \(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} – 6y + 16 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8{\rm{x}} + 16 + {y^2} – 6y + 9 = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = {3^2} \end{array}\)
Nên đường tròn có tâm I(-4;3) và bán kính R = 3.
b) \(\begin{array}{l} 4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} – 16y + 10 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{{5{\rm{x}}}}{4} – 4y + \frac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.\frac{5}{8} + \frac{{25}}{{64}} + {y^2} – 4y + 4 = \frac{{121}}{{64}}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{5}{8}} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = {\left( {\frac{{11}}{8}} \right)^2} \end{array}\)
Nên đường tròn có tâm \(I\left( {\frac{{ – 5}}{8};2} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{11}}{8}\)

Ví dụ 3. Lập pt đường tròn (C) đi qua 3 điểm A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2).

Giải

Gọi phương trình đường tròn là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (*).

Thay tọa độ các điểm A; B; C và phương trình ta được hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}
4 + 16 + 4a – 8b + c = 0\\
25 + 25 – 10a – 10b + c = 0\\
36 + 4 – 12a + 4b + c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – 2\\
b = – \frac{1}{2}\\
c = – 20
\end{array} \right.$

Vậy phương  trình đường tròn có dạng: x² + y²+ 4x +y -20 = 0

II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Định lý: Cho đường tròn (C): (x – a)² + (y – b)² = R² và điểm M₀(x_0;y₀) thuộc (C).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₀ là:

\(\left( {{x_0} – a} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {{y_0} – b} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)

Cho điểm \(M_0\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn tâm I(a;b). Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của (C) tại \(M_0\)
Ta có \(M_0\) thuộc \(\Delta\) và vectơ \(\overrightarrow {I{M_0}} = \left( {{x_0} – a;{y_0} – b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\). Do đó, \(\Delta\) có phương trình là:
\(\left( {{x_0} – a} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {{y_0} – b} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)
Đây chính là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) tại điểm \(M_0\) trên đường tròn.

Ví dụ 1. Cho đường tròn có phương trình là: x² + y²+4x +4y -17 = 0.

Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn tại điểm M(2;1).

Giải

Phương trình có dạng: (x+2)²+(y+2)²=25

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M(2;1) là:

(2+2)(x -2)+ (1+2)(y-1) = 0

⇔ 4x + 3y-11 = 0.

B. Trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường tròn (C) có phương trình: ${x^2} + {y^2} + 2x – 8y = 0$ . Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R là:

• A. I(2;-8), R=2√2
• B. I(1;-4), R=3
• C.  I(-1;4), R=3
• D. I(1;-4), R=2√2

Câu 2: Phương trình đường tròn có tâm I(3; -5) và có bán kính R = 2 là

• A.  x²+y²+3x-5y+2=0
• B. x²+y²+6x-10y+30=0
• C.  x²+y² – 6x+10y-4=0
• D. x²+y²-6x+10y+30=0

Câu 3: Phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 6), B(-3; 2) là

• A. x²+y²+2x-8y+9=0
• B. x²+y²-2x+8y+9=0
• C. x²+y²+2x-8y-15=0
• D.  x²+y²-2x+8y-15=0

Câu 4: Phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1; 3), B(1; 4), C(3; 2) là:

• A. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{3}x – \frac{{11}}{3}y + \frac{2}{3} = 0\)
• B. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{2}x – \frac{{11}}{3}y – \frac{2}{3} = 0\)
• C. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{6}x – \frac{{11}}{6}y – \frac{2}{3} = 0\)
• D. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{6}x – \frac{{11}}{6}y + \frac{2}{3} = 0\)

Câu 5. Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²-6x+4y-12=0. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A(-1; 1) là:

• A.  4x – 3y +7 = 0
• B. 4x + 3y + 1= 0
• C.  3x + 4y – 1 = 0
• D.  3x – 4y + 7 = 0

Câu 6.  Cho đường tròn (C) : (x – 3)² + (y – 1)² = 10. Phương trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là

• A. x – 3y + 8 = 0.
• B. x + 3y – 16 = 0.
• C. 2x – 3y + 5 = 0 .
• D. x + 3y – 16 = 0.

Chọn D.

Câu 7.  Cho đường tròn (x – 3)² + (y + 1)² = 5.  Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là

• A. 2x + y = 0; 2x + y – 10 = 0
• B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y – 1 = 0
• C. 2x – y + 1 = 0; 2x + y – 10 = 0
• D. 2x + y = 0; x + 2y – 10 = 0

Chọn A.

Câu 8. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0,
biết tiếp tuyến đi qua điểm B( 4; 6) .

• A. x – 4 = 0 hoặc 3x + 4y – 36 = 0
• B. x – 4 = 0 hoặc y – 6 = 0.
• C. y – 6 = 0 hoặc 3x + 4y – 36 = 0
• D. x – 4 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0

Chọn D.

Câu 9. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)² + (y + 2)² = 25 tại điểm M(2; 1) là:

• A. d: -y + 1 = 0
• B. d: 4x + 3y + 14 = 0
• C. d: 3x – 4y – 2 = 0
• D. d: 4x + 3y – 11 = 0

Chọn D.

• A. d: x + y + 1 = 0
• B. d: x – 2y – 11 = 0
• C. d: x – y – 7 = 0
• D. d: x – y + 7 = 0

Chọn C.

Câu 11. Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = 25 và điểm M(9; -4). Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C),  biết ∆ đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến ∆ bằng:

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 5

Chọn B.

Câu 12. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn
(C): x² + y² – 2x + 4y – 11 = 0?

• A. 0.
• B. 2.
• C. 1.
• D. 3.

Chọn A.

Câu 13. Cho đường tròn (C): (x-3)² + (y + 3)² = 1. Qua điểm M(4; -3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) ?

• A. 0.
• B. 1.
• C. 2.
• D. Vô số.

Chọn B.

Câu 14. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn
(C): (x – 2)² + (y + 3)² = 4?

• A. 0.
• B. 1.
• C. 2.
• D. Vô số.

Chọn C.

Câu 15. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): (x – 1)² + (y + 2)² = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 5; -2).

• A. x – 5 = 0 .
• B. x + y – 3 = 0 hoặc x – y 7 = 0.
• C. x- 5= 0 hoặc x + y – 3 = 0 .
• D. y + 2 = 0 hoặc x – y – 7 = 0 .

Chọn B.

Câu 16: Cho đường tròn ( C) có tâm I(1; 3), bán kính R= √52. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d:

• A. x + 2y + 3 = 0
• B. 2x + 5y + 21 = 0
• C. 2x – 3y – 19 = 0
• D. Đáp án khác

Chọn C.

Câu 17: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x² + y² – 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là:

• A. d: x + 3y – 2 = 0
• B. d: x – 3y + 4 = 0
• C. d: x – 3y – 4 = 0
• D. d: x + 3y + 2 = 0

Đáp án: DCâu 18: Cho đường tròn( C): x² + y² – 2x + 8y – 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Tiếp tuyến của (C) xuất phát tại M tiếp xúc (c) tại H.  Độ dài đoạn MH là :

• A. 10
• B. 2√10
• C. 2
• D. √10

Đáp án: DCâu 19: Cho đường tròn ( C ) : x² + y² – 3x – y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là:

• A. x + 3y – 1 = 0
• B. 2x – 3y + 1 = 0
• C. 2x – y + 4 = 0
• D. x + 3y + 2 = 0

Đáp án: DCâu 20: Cho đường tròn (x – 3)² + (y – 1)² = 10 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm A( 4; 4) là

• A. x – 3y + 5 = 0
• B. x + 3y – 4 = 0
• C. x – 3y + 16 = 0
• D. x + 3y – 16 = 0

Đáp án: DCâu 21: Cho đường tròn (x – 2)² + (y – 2)² = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là

• A. x + y – 4 = 0 và x – y – 2 = 0 .
• B. x = 5 và y = -1.
• C. 2x – y – 3 = 0 và 3x + 2y – 3 = 0.
• D. 3x – 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0

Đáp án: BCâu 22: Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x – 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y – 15 = 0 là

• A. x + 2y = 0 và x + 2y – 10 = 0.
• B. x – 2y = 0 và x – 2y + 10 = 0.
• C. x + 2y – 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0
• D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0

Đáp án: ACâu 23: Cho đường tròn (C) : x² + y² – 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng d: 2x + (m – 2)y – m – 7 = 0. Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của (C).

• A. m = 3
• B. m = 15
• C. m = 13
• D. m = 3 hoặc m = 13.

Đáp án: D

————-

Xem thêm: Các dạng bài tập cơ bản về phương trình đường tròn.