T10.HH.III.1. Đường tròn
A. Lý thuyết
I. Phương trình đường tròn
Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I cố định và số dương R. Tập hợp các điểm M thuộc mặt phẳng sao cho khoảng cách từ M đến I luôn bằng R là đường tròn tâm I bán kính R.
Kí hiệu: O(I,R)
Vậy: $O\left( {I,R} \right) = \left\{ {M \in 0xy|IM = R} \right\}$
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
• Phương trình đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R.
Ta có: \(M\left( {x;y} \right) \subset \left( C \right) \Leftrightarrow IM = R\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2}} = R\\ \Leftrightarrow {\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2} \end{array}\)
Vì vậy, phương trình \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R
• Phương trình đường tròn (C) tâm O(0; 0), bán kính R: x2 + y2 = R2 (2)
Ví dụ 1: Cho hai điểm (A(3; –4), B(–3; 4). Viết pt đường tròn (C) đường kính AB.
Giải
+ Tâm I là trung điểm của AB
+ Bán kính R = $\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$
Þ (C): x2 + y2 = $\frac{25}{4}$
Ví dụ 2: Lập pt đường tròn (C) có tâm I(–2; 3) và đi qua M(2; –3).
Giải
Ta có: R = IM = $\sqrt{52}$
=> (C): (x + 2)2 +(y – 3)2 = 52.
Ví dụ 3. (C): (x + 1)2 +(y –5)2 = 16. Xác định tâm và tính bán kính của (C).
Giải
Ta có: a=-1; b=5=> Tâm: I(-1;5).
Ta có: R2=16=>Bán kính : R=4.
2. Phương trình đường tròn dạng khai triển
Phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (3)
với a2 + b2 – c > 0 là phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R = $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$.
Phương trình đường tròn: \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) <=> \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{ax}} – 2by + c = 0\)
trong đó: \(c=a^2+b^2-R^2\).
Ngược lại, ta có:
$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} – 2{\rm{ax}} – 2by + c = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2{\rm{ax + }}{{\rm{a}}^2}} \right) + \left( {{y^2} – 2by + {b^2}} \right) = {a^2} + {b^2} – c\\
\Leftrightarrow {\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} – c
\end{array}$
Suy ra: phương trình \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{ax}} – 2by + c = 0\) là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} – c > 0\).
Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn?
a) 2x2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0
b) x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0
c) x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0
Giải
a) Không, vì các hệ số của x2, y2 không bằng nhau.
b) Có, vì a2 + b2 – c > 0
c) Không, vì a2 + b2 – c < 0
Ví dụ 2. Cho đường tròn (C) có pt: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0. Tìm toạ độ tâm và tính bán kính.
Giải
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2a = – 4}\\
{2b = 8}\\
{c = – 5}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = – 2}\\
{b = 4}\\
{{a^2} + {b^2} – c = {{( – 2)}^2} + {4^2} – ( – 5) = 25}
\end{array}} \right.$
Vậy: I(-a;-b)=(2; –4); ${R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} = 5}$.
Ví dụ 2. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) \({x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} – 6y + 16 = 0\)
b) \(4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} – 16y + 10 = 0\)
Giải
a) \(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} – 6y + 16 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8{\rm{x}} + 16 + {y^2} – 6y + 9 = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = {3^2} \end{array}\)
Nên đường tròn có tâm I(-4;3) và bán kính R = 3.
b) \(\begin{array}{l} 4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} – 16y + 10 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{{5{\rm{x}}}}{4} – 4y + \frac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.\frac{5}{8} + \frac{{25}}{{64}} + {y^2} – 4y + 4 = \frac{{121}}{{64}}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{5}{8}} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = {\left( {\frac{{11}}{8}} \right)^2} \end{array}\)
Nên đường tròn có tâm \(I\left( {\frac{{ – 5}}{8};2} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{11}}{8}\)
Ví dụ 3. Lập pt đường tròn (C) đi qua 3 điểm A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2).
Giải
Gọi phương trình đường tròn là: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (*).
Thay tọa độ các điểm A; B; C và phương trình ta được hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
4 + 16 + 4a – 8b + c = 0\\
25 + 25 – 10a – 10b + c = 0\\
36 + 4 – 12a + 4b + c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – 2\\
b = – \frac{1}{2}\\
c = – 20
\end{array} \right.$
Vậy phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2+ 4x +y -20 = 0
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Định lý: Cho đường tròn (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2 và điểm M0(x0;y0) thuộc (C).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là:
\(\left( {{x_0} – a} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {{y_0} – b} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)
Cho điểm \(M_0\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn tâm I(a;b). Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của (C) tại \(M_0\)
Ta có \(M_0\) thuộc \(\Delta\) và vectơ \(\overrightarrow {I{M_0}} = \left( {{x_0} – a;{y_0} – b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\). Do đó, \(\Delta\) có phương trình là:
\(\left( {{x_0} – a} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {{y_0} – b} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)
Đây chính là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) tại điểm \(M_0\) trên đường tròn.
Ví dụ 1. Cho đường tròn có phương trình là: x2 + y2+4x +4y -17 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn tại điểm M(2;1).
Giải
Phương trình có dạng: (x+2)2+(y+2)2=25
Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M(2;1) là:
(2+2)(x -2)+ (1+2)(y-1) = 0
⇔ 4x + 3y-11 = 0.
B. Trắc nghiệm
Câu 1: Cho đường tròn (C) có phương trình: ${x^2} + {y^2} + 2x – 8y = 0$ . Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R là:
- A. I(2;-8), R=2√2
- B. I(1;-4), R=3
- C. I(-1;4), R=3
- D. I(1;-4), R=2√2
Câu 2: Phương trình đường tròn có tâm I(3; -5) và có bán kính R = 2 là
- A. x2+y2+3x-5y+2=0
- B. x2+y2+6x-10y+30=0
- C. x2+y2 – 6x+10y-4=0
- D. x2+y2-6x+10y+30=0
Câu 3: Phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 6), B(-3; 2) là
- A. x2+y2+2x-8y+9=0
- B. x2+y2-2x+8y+9=0
- C. x2+y2+2x-8y-15=0
- D. x2+y2-2x+8y-15=0
Câu 4: Phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1; 3), B(1; 4), C(3; 2) là:
- A. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{3}x – \frac{{11}}{3}y + \frac{2}{3} = 0\)
- B. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{2}x – \frac{{11}}{3}y – \frac{2}{3} = 0\)
- C. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{6}x – \frac{{11}}{6}y – \frac{2}{3} = 0\)
- D. \({x^2} + {y^2} – \frac{5}{6}x – \frac{{11}}{6}y + \frac{2}{3} = 0\)
Câu 5. Cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2-6x+4y-12=0. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A(-1; 1) là:
- A. 4x – 3y +7 = 0
- B. 4x + 3y + 1= 0
- C. 3x + 4y – 1 = 0
- D. 3x – 4y + 7 = 0
Câu 6. Cho đường tròn (C) : (x – 3)2 + (y – 1)2 = 10. Phương trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là
- A. x – 3y + 8 = 0.
- B. x + 3y – 16 = 0.
- C. 2x – 3y + 5 = 0 .
- D. x + 3y – 16 = 0.
Chọn D.
Câu 7. Cho đường tròn (x – 3)2 + (y + 1)2 = 5. Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là
- A. 2x + y = 0; 2x + y – 10 = 0
- B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y – 1 = 0
- C. 2x – y + 1 = 0; 2x + y – 10 = 0
- D. 2x + y = 0; x + 2y – 10 = 0
Chọn A.
Câu 8. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0,
biết tiếp tuyến đi qua điểm B( 4; 6) .
- A. x – 4 = 0 hoặc 3x + 4y – 36 = 0
- B. x – 4 = 0 hoặc y – 6 = 0.
- C. y – 6 = 0 hoặc 3x + 4y – 36 = 0
- D. x – 4 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0
Chọn D.
Câu 9. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm M(2; 1) là:
- A. d: -y + 1 = 0
- B. d: 4x + 3y + 14 = 0
- C. d: 3x – 4y – 2 = 0
- D. d: 4x + 3y – 11 = 0
Chọn D.
- A. d: x + y + 1 = 0
- B. d: x – 2y – 11 = 0
- C. d: x – y – 7 = 0
- D. d: x – y + 7 = 0
Chọn C.
Câu 11. Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 25 và điểm M(9; -4). Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C), biết ∆ đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến ∆ bằng:
- A. 2
- B. 3
- C. 4
- D. 5
Chọn B.
Câu 12. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn
(C): x2 + y2 – 2x + 4y – 11 = 0?
- A. 0.
- B. 2.
- C. 1.
- D. 3.
Chọn A.
Câu 13. Cho đường tròn (C): (x-3)2 + (y + 3)2 = 1. Qua điểm M(4; -3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) ?
- A. 0.
- B. 1.
- C. 2.
- D. Vô số.
Chọn B.
Câu 14. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn
(C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4?
- A. 0.
- B. 1.
- C. 2.
- D. Vô số.
Chọn C.
Câu 15. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 5; -2).
- A. x – 5 = 0 .
- B. x + y – 3 = 0 hoặc x – y 7 = 0.
- C. x- 5= 0 hoặc x + y – 3 = 0 .
- D. y + 2 = 0 hoặc x – y – 7 = 0 .
Chọn B.
Câu 16: Cho đường tròn ( C) có tâm I(1; 3), bán kính R= √52. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d:
- A. x + 2y + 3 = 0
- B. 2x + 5y + 21 = 0
- C. 2x – 3y – 19 = 0
- D. Đáp án khác
Chọn C.
Câu 17: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x2 + y2 – 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là:
- A. d: x + 3y – 2 = 0
- B. d: x – 3y + 4 = 0
- C. d: x – 3y – 4 = 0
- D. d: x + 3y + 2 = 0
- A. 10
- B. 2√10
- C. 2
- D. √10
- A. x + 3y – 1 = 0
- B. 2x – 3y + 1 = 0
- C. 2x – y + 4 = 0
- D. x + 3y + 2 = 0
- A. x – 3y + 5 = 0
- B. x + 3y – 4 = 0
- C. x – 3y + 16 = 0
- D. x + 3y – 16 = 0
- A. x + y – 4 = 0 và x – y – 2 = 0 .
- B. x = 5 và y = -1.
- C. 2x – y – 3 = 0 và 3x + 2y – 3 = 0.
- D. 3x – 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0
- A. x + 2y = 0 và x + 2y – 10 = 0.
- B. x – 2y = 0 và x – 2y + 10 = 0.
- C. x + 2y – 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0
- D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0
- A. m = 3
- B. m = 15
- C. m = 13
- D. m = 3 hoặc m = 13.
Xem thêm: Các dạng bài tập cơ bản về phương trình đường tròn.
0 Bình luận