T10.HH.III.2.1. Các dạng toán cơ bản về Elip-Phần 2

Dạng 2. Lập phương trình chính tắc của Elip

Dạng 2.1. Lập phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục lớn và trục nhỏ.

Phương pháp giải

+ Trục lớn : ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a,$ trục nhỏ :${{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b.$ Ta xác định được $a,\,\,b.$

+ Viết phương trình elip: \[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,.\]

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho elip $\left( E \right)$ có độ dài trục lớn bằng $12$ và độ dài trục bé bằng $6.$ Phương trình nào sau đây là phương trình của elip $\left( E \right).$

A. $\frac{{{x}^{2}}}{144}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=1.$

B. $\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=1.$

C. $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$

D. $\frac{{{x}^{2}}}{144}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=0.$

Lời giải

 Phương trình chính tắc của elip có dạng \[\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\text{  }\left( a,b>0 \right)\]

Ta có $a=6$, $b=3$, vậy phương trình của Elip là: $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$.

Chọn C.

Dạng 2.2. Lập phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục lớn và tiêu cự của nó.

Phương pháp giải

+ Trục lớn : ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a,$ tiêu cự: ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c.$ Ta xác định: ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}$

+ Viết phương trình elip: \[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,.\]

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho elip $\left( E \right)$ có độ dài trục lớn bằng $10$ và độ dài tiêu cự bằng $6.$ Phương trình nào sau đây là phương trình của elip $\left( E \right).$

A. $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1.$

B. $\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1.$

C. $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$

D. $\frac{{{x}^{2}}}{144}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=0.$

Lời giải

 Ta có: $2a=10,\,\,2c=6\Rightarrow a=5,\,\,c=3.$ ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{5}^{2}}-{{3}^{2}}=16.$

Vậy phương trình của Elip là: $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1.$

Chọn A.

Dạng 2.3. Lập phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục nhỏ và tiêu cự của nó.

 Phương pháp giải

+ Trục nhỏ : ${{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b,$ tiêu cự: ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c.$ Ta xác định: ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$

+ Viết phương trình elip: \[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,.\]

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho elip $\left( E \right)$ có độ dài trục nhỏ bằng $8$ và độ dài tiêu cự bằng $10.$ Phương trình nào sau đây là phương trình của elip $\left( E \right).$

A. $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1.$

B. $\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{41}=1.$

C. $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$

D. $\frac{{{x}^{2}}}{41}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1.$

Lời giải

Ta có: $2b=8,\,\,2c=10\Rightarrow b=4,\,\,c=5.$ ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{4}^{2}}+{{5}^{2}}=41.$

Vậy phương trình của Elip là: $\frac{{{x}^{2}}}{41}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1.$

Chọn D.

Dạng 2.4. Lập phương trình chính tắc của elip khi biết nó đi qua hai điểm cho trước.

Phương pháp giải.

+ Phương trình elip có dạng: \[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,.\]

+ Elip qua hai điểm cho trước, ta thay tọa độ vào phương trình elip giải ra được ${{a}^{2}},\,\,{{b}^{2}}.$

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ phương  trình $\left( E \right)$ đi qua điểm $M\left( 0;3 \right),\,\,N\left( 3;-\frac{12}{5} \right)$ là:

A. $\frac{{{x}^{2}}}{6}+\frac{{{y}^{2}}}{3}=1.$

B. $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$

C. $\frac{{{x}^{2}}}{5}+\frac{{{y}^{2}}}{3}=1.$

D. $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$

Lời giải

Phương trình elip có dạng: \[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,.\]Đi qua hai điểm $M,N$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{0}{{{a^2}}} + \frac{9}{{{b^2}}} = 1\\
\frac{9}{{{a^2}}} + \frac{{144}}{{25{b^2}}} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{b^2} = 9\\
{a^2} = 25
\end{array} \right.$

Vậy phương trình elip: $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$

Chọn B.

Dạng 2.5. Lập phương trình chính tắc của elip khi biết nó có một tiêu cự và đi qua một điểm cho trước.

Phương pháp giải.

+ Phương trình elip có dạng: $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,.$

+ Từ giả thiết ta xác định được $c$ và ${{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}.\,(1)$

+ Elip qua hai điểm $\left( {{x}_{o}},{{y}_{o}} \right)$  cho trước, ta được: $\frac{x_{o}^{2}}{{{a}^{2}}}+\frac{y_{o}^{2}}{{{b}^{2}}}=1\,.\,(2)$

+ Từ $(1)\And (2)$ ta giải ra được ${{a}^{2}},\,\,{{b}^{2}}.$

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng $6$và đi qua điểm $A\left( 0;5 \right)$.

A. $\frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{81}=1.$

B. $\frac{{{x}^{2}}}{34}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1.$

C. $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$

D. $\frac{{{x}^{2}}}{25}-\frac{{{y}^{2}}}{16}=1.$

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\text{  }\left( a,b>0 \right)$.

Theo giả thiết:$2c=6\Leftrightarrow c=3$. Vì $A\left( 0;5 \right)\in \left( E \right)$nên ta có phương trình: $\frac{{{0}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{5}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\Leftrightarrow {{b}^{2}}=25$.

Khi đó: ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}={{5}^{2}}+{{3}^{2}}$$\Leftrightarrow {{a}^{2}}=34\Leftrightarrow a=\sqrt{34}$.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{{{x}^{2}}}{34}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1$.

Chọn B.

Dạng 3. Chứng minh một điểm $M$ luôn di động trên một elip với điều kiện cho trước.

Phương pháp giải.

Để chứng tỏ điểm $M$ di động trên một elip ta có hai cách sau:

+) Cách 1:  Chứng minh tổng khoảng cách từ $M$ đến hai điểm cố định ${{F}_{1}},\,\,{{F}_{2}}$ là một hằng số $2a\,\,({{F}_{1}}{{F}_{2}}<2a).$

Khi đó $M$ di động trên elip có hai tiêu điểm ${{F}_{1}},\,\,{{F}_{2}}$ và trục lớn là $2a.$

+) Cách 2: Chứng minh trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ điểm $M(x;y)$ có tọa độ thỏa mãn phương trình: $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,$ với $a,\,\,b$ là hai hằng số thỏa mãn $0<b<a.$

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$cho điểm $M(x;y)$ di động có tọa độ luôn thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l}
x = 5\cos t\\
y = 4{\mathop{\rm sint}\nolimits}
\end{array} \right.$

với $t$ là tham số thay đổi. Khi đó điểm $M$ di động trên elip có phương trình:

A. $\frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{81}=1.$

B. $\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1.$

C.$\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$

D. $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1.$

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 5\cos t\\
y = 4{\mathop{\rm sint}\nolimits}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{5} = \cos t\\
\frac{y}{4} = \sin t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{{25}} = {\cos ^2}t\\
\frac{{{y^2}}}{{16}} = {\sin ^2}t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1.
\end{array}$

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$cho điểm $M(x;y)$ di động có tọa độ luôn thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l}
x = 7\cos t\\
y = 5{\mathop{\rm sint}\nolimits}
\end{array} \right.$

với $t$ là tham số thay đổi. Khi đó điểm $M$ di động trên elip có phương trình:

A. $\frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{81}=1.$

B. $\frac{{{x}^{2}}}{49}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1.$

C. $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$

D. $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1.$

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 7\cos t\\
y = 5{\mathop{\rm sint}\nolimits}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{7} = \cos t\\
\frac{y}{5} = \sin t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{{49}} = {\cos ^2}t\\
\frac{{{y^2}}}{{25}} = {\sin ^2}t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1.
\end{array}$

Chọn B.

Dạng 4. Tìm số giao điểm của đường thẳng và elip.

Phương pháp giải.

+ Phương trình elip có dạng: $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,$và đường thẳng $\Delta :y=mx+n.$

+ Ta xét phương trình: $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{(mx+n)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\,\,(*)$. Ta có 3 trường hợp:

TH1: $(*)$ có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip).

TH2: $(*)$ có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp xúc elip).

TH3: $(*)$ vô nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip không có điểm chung).

Ví dụ 1: Cho elíp $\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$ và đường thẳng $d:3x+4y-12=0$. Số giao điểm của đường thẳng $d$ và elip $\left( E \right)$ là:

A. $0.$

B. $1.$

C. $2.$

D. $3.$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $d:3x+4y-12=0\Leftrightarrow y=3-\frac{3x}{4}$, thay vào phương trình $\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$ ta được:

$\begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{{\left( {3 – \frac{{3x}}{4}} \right)}^2}}}{9} = 1\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{{\left( {x – 4} \right)}^2}}}{{16}} = 1
\end{array}$

$ \Leftrightarrow 2{x^2} – 8x = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0 \Rightarrow y = 3}\\
{x = 4 \Rightarrow y = 0}
\end{array}} \right.$

Vậy d luôn cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( 0;3 \right)$,$B\left( 4;0 \right)$.

Ví dụ 2: Cho elip $(E):\frac{{{x}^{2}}}{8}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$ và đường thẳng $d:x-\sqrt{2}y+2=0$. Số giao điểm của đường thẳng $d$ và elip $\left( E \right)$ là:

A. $0.$

B. $1.$

C. $2.$

D. $3.$

Lời giải

Lời giải. Tọa độ B, C là nghiệm của hệ:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\\
x – \sqrt 2 y + 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 2{y^2} = 8\\
x = \sqrt 2 y – 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y^2} – \sqrt 2 y – 1 = 0\\
x = \sqrt 2 y – 2
\end{array} \right.
\end{array}$

Có 2 nghiệm $y$ nên có 2 nghiệm $x\Rightarrow $ có 2 giao điểm.

Chọn C.

B- Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho elip $\left( E \right)$ có một đỉnh ${{A}_{1}}(-a;0)$, một tiêu điểm ${{F}_{1}}\left( -c;0 \right)$. Lập phương trình chính tắc của $\left( E \right)$.

A. $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=1$

B. $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}=1$

C. $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}=1$

D. $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=1$

Câu 2.  Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là $769\text{ }266$ $\left( km \right)$ và $768\text{ }106$$\left( km \right)$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng, biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn của elip.

A. $384\text{ }633~\,\,$$\left( km \right)$                                       

B. $384\text{ }053$$\left( km \right)$

C. $363\text{ }518$ $\left( km \right)$                                          

D. $363\text{ }517$$\left( km \right)$

Câu 3. Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là $80$(cm) và trục nhỏ là $40$(cm) từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước $80$(cm) $\times $ $40$(cm), người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình vẽ . Hỏi phải ghim hai cái đinh cách nhau bao nhiêu cm?

A. ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=20\sqrt{3}\,\,$(cm)

B. ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=20\,$(cm)

C. ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=40\sqrt{3}$ (cm)

D. ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=80\,$(cm)

Câu 4. Cho elip $\left( E \right)$có phương trình chính tắc là $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1$. Đường thẳng có phương trình $x=-3$ cắt $\left( E \right)$tại hai điểm M, N. Tính độ dài đoạn thẳng MN

A. $\frac{32}{5}$

B. $\frac{16}{25}$

C. $\frac{16}{5}$

D. $\frac{32}{25}$

Câu 5. Cho elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là $\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$. Đường thẳng có phương trình nào sau đây tiếp xúc với $\left( E \right)$tại điểm $M\left( 2;-\sqrt{3} \right)$?

A. $x-2\sqrt{3}\,y-8=0$

B. $2\sqrt{3}x-\,y-8=0$

C. $x-2\sqrt{3}\,y+8=0$

D. $\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$

C. Tự đánh giá

——————

Xem thêm:


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!