T10.HH.III.2.1. Các dạng toán cơ bản về Elip-Phần 1

Dạng 1: Xác định yếu tố cơ bản khi biết phương trình elip.

Dạng 1.1.Tìm độ dài trục của Elip

Phương pháp giải

Từ phương trình chính tắc của $\left( E \right)\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\,$ta có thể xác định được:

+ Các đỉnh : ${{A}_{1}}\left( -a;0 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( a;0 \right),\,\,{{B}_{1}}\left( 0;-b \right),\,\,{{B}_{2}}\left( 0;b \right)$

+ Trục lớn : ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a,$ trục nhỏ :${{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b.$

Ví dụ: Cho elip có phương trình: $\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1.$ Khi đó độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là.

  • A.$9;4.$
  • B. $6;4.$
  • C. $3;2.$                      
  • D. $4;6.$

Lời giải

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 9\\
{b^2} = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = 2
\end{array} \right.$

– Trục lớn: ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a=2.3=6$

– Trục nhỏ: ${{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b=2.2=4$

Chọn B

Dạng 1.2. Xác định tọa độ các tiêu điểm khi cho sẵn phương trình elip.

Phương pháp giải

Từ phương trình chính tắc của $\left( E \right)\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\,$ta có thể xác định được:

+ Các đỉnh : ${{A}_{1}}\left( -a;0 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( a;0 \right),\,\,{{B}_{1}}\left( 0;-b \right),\,\,{{B}_{2}}\left( 0;b \right)$

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái ${{F}_{1}}\left( -c;0 \right),$ tiêu điểm phải ${{F}_{2}}\left( c;0 \right)$ với ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}$

Ví dụ: Cho elip có phương trình: $\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$ Khi đó tọa độ tiêu điểm của elip là.

  • A.${{F}_{1}}\left( -\sqrt{7};0 \right),\,\,{{F}_{2}}\left( \sqrt{7};0 \right)$
  • B. ${{F}_{1}}\left( -16;0 \right),\,\,{{F}_{2}}\left( 16;0 \right)$
  • C. ${{F}_{1}}\left( -9;0 \right),\,\,{{F}_{2}}\left( 9;0 \right)$
  • D. ${{F}_{1}}\left( -4;0 \right),\,\,{{F}_{2}}\left( 4;0 \right)$

Lời giải

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 16\\
{b^2} = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4\\
b = 3
\end{array} \right. \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = \sqrt 7 $

– Tiêu điểm là: ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{7};0 \right),\,\,{{F}_{2}}\left( \sqrt{7};0 \right)$

Chọn A

Dạng 1.3. Xác định tọa độ các tiêu điểm khi cho sẵn phương trình elip.

 Phương pháp giải

Từ phương trình chính tắc của $\left( E \right)\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\,$ta có thể xác định được:

+ Các đỉnh : ${{A}_{1}}\left( -a;0 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( a;0 \right),\,\,{{B}_{1}}\left( 0;-b \right),\,\,{{B}_{2}}\left( 0;b \right)$

Ví dụ 1: Cho elip có phương trình: $\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{1}=1.$ Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục lớn của elip là.

  • A.${{A}_{1}}\left( -1;0 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( 1;0 \right)$
  • B. ${{A}_{1}}\left( 0;-1 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( 0;1 \right)$
  • C. ${{A}_{1}}\left( 2;0 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( -1;0 \right)$
  • D. ${{A}_{1}}\left( -2;0 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( 2;0 \right)$

Lời giải

Ta có: ${{a}^{2}}=4\Leftrightarrow a=2$

– Hai đỉnh trên trục lớn là: ${{A}_{1}}\left( -2;0 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( 2;0 \right)$

Chọn D

Ví dụ 2: Cho elip có phương trình: $\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1.$ Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục nhỏ của elip là.

  • A.${{B}_{1}}\left( -2;0 \right),\,\,{{B}_{2}}\left( 2;0 \right)$
  • B. ${{B}_{1}}\left( 3;0 \right),\,\,{{B}_{2}}\left( 2;0 \right)$
  • C. ${{B}_{1}}\left( -3;0 \right),\,\,{{B}_{2}}\left( -2;0 \right)$
  • D. ${{B}_{1}}\left( -3;0 \right),\,\,{{B}_{2}}\left( 3;0 \right)$

Lời giải

Ta có: ${{b}^{2}}=4\Leftrightarrow b=2$

– Hai đỉnh trên trục lớn là: ${{B}_{1}}\left( -2;0 \right),\,\,{{B}_{2}}\left( 2;0 \right)$

Chọn A

B- Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho elip $\left( E \right)$có phương trình chính tắc là $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\,\left( 0<b<a \right)$. Tìm độ dài trục lớn của $\left( E \right)$.

  • A. $2a$
  • B. $2b$
  • C. $a+b$
  • D. $2c$

Câu 2. Cho elip $\left( E \right)$có phương trình chính tắc là $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\,\left( 0<b<a \right)$. Gọi ${{A}_{1}},\,\,{{A}_{2}}$ là các đỉnh của $\left( E \right)$thuộc trục $Ox$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A. ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a$
  • B. ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=2b$
  • C. ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=a+b$
  • D. ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=2c$

Câu 3. Cho elip $\left( E \right)$có phương trình chính tắc là $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\,\left( 0<b<a \right)$. Tìm tọa độ tiêu điểm của $\left( E \right)$theo $a,\,b$.

  • A. ${{F}_{1}}(-\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}};0),\,{{F}_{2}}(\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}};0)$
  • B. ${{F}_{1}}(\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}};0),\,{{F}_{2}}(-\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}};0)$
  • C. ${{F}_{1}}(0;-\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}),\,{{F}_{2}}(0;\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}})$
  • D. ${{F}_{1}}(0;\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}),\,{{F}_{2}}(0;-\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}})$

Câu 4. Cho elip $\left( E \right)$có phương trình chính tắc là $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\,\left( 0<b<a \right)$. Tìm tọa độ các đỉnh ${{A}_{1}},\,\,{{A}_{2}}$ của $\left( E \right)$.

  • A. ${{A}_{1}}(-a;0),\,{{A}_{2}}(a;0)$
  • B. ${{A}_{1}}(a;0),\,{{A}_{2}}(-a;0)$
  • C. ${{A}_{1}}(0;-a),\,{{A}_{2}}(0;a)$
  • D. ${{A}_{1}}(0;a),\,{{A}_{2}}(0;-a)$

Câu 5. Cho elip $\left( E \right)$ có độ dài trục lớn là $2a$, độ dài trục bé là$2b$. Lập phương trình chính tắc của $\left( E \right)$.

  • A. $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$
  • B. $\frac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}=1$
  • C. $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=2$
  • D. $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$

C. Tự đánh giá

————————-

Xem thêm:


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!