T10.ĐS.V.6. Công thức lượng giác

1.1. Công thức cộng 

  • cos( a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
  • cos( a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
  • sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
  • sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
  • \(\tan (a – b) = \frac{{\tan a – \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)       
  • \(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 – \tan a.\tan b}}\)

Cách ghi nhớ: 

  • Cos cùng loài khác dấu – Sin cùng dấu khác loài
  • Tan của  tổng bằng tổng tan trên thượng cùng cao thượng (tử số)
    Dưới một trừ tan lại cùng tan (mẫu số)

1.2. Công thức nhân đôi

* Công thức nhân đôi

  • $sin2a{\rm{ }} = {\rm{ }}2sina.cosa$
  • $cos2a{\rm{ }} = {\rm{ }}co{s^2}a{\rm{ }}–{\rm{ }}si{n^2}a{\rm{ }} = {\rm{ }}2co{s^2}a{\rm{ }}–{\rm{ }}1 = {\rm{ }}1{\rm{ }}–{\rm{ }}2si{n^2}a$
  • \(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 – {{\tan }^2}a}}\)

*Công thức góc nhân 3

  • $\sin 3a = 3\sin a – 4{\sin ^3}a$
  • $\cos 3a = 4{\cos ^3}a – 3\cos a$

Cách ghi nhớ:

Sin ba lần bằng ba lần sin nó trừ bốn lần sin nó mũ ba

Đổi sin thành cos và đổi dấu vế phải ta được công thức cos 3a.

* Công thức hạ bậc

\(\begin{array}{l}
c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{2}\\
{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a = \frac{{1 – c{\rm{os}}2a}}{2}\\
{\tan ^2}a = \frac{{1 – c{\rm{os}}2a}}{{1 + c{\rm{os}}2a}}
\end{array}\)

1.3. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

1.3.1. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}
\cos a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a – b) + c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\sin b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a – b) – c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}\sin (a – b) + \sin (a + b){\rm{]}}
\end{array}\)

1.3.2. Công thức biến đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l}
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}\\
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}\\
\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}\\
\sin u – \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u – v}}{2}
\end{array}\)

Cách ghi nhớ:

Cos cộng cos bằng hai cos cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
sin trừ sin bằng hai cos sin.

II. Bài tập minh họa
 Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}};c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}}\)

Giải

Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos

* Ta có \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \frac{{2\pi  + 3\pi }}{{12}} = \sin (\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4})\)

\(\begin{array}{l}
= \sin \frac{\pi }{6}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}.\sin \frac{\pi }{4}\\
= \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\)

* Ta có \(c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}} = c{\rm{os}}\frac{{3\pi  + 4\pi }}{{12}} = \cos (\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3})\)

\(\begin{array}{l}
= c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} – \sin \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
= \frac{{\sqrt 2  – \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng

\(\begin{array}{l}
a){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} – a) = \frac{{1 – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\
b){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\)

Giải

Sử dụng công thức cộng đối với tan

\(\begin{array}{l}
a)\tan (\frac{\pi }{4} – a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\
b)\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\)

Ví dụ 3: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết \(\sin a =  – \frac{3}{5}{\rm{, }}\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\)

Giải

+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp

+ Áp dụng công thức nhân đôi

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}a + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 – {\sin ^2}a\\
\Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 – {( – \frac{3}{5})^2} = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos a =  \pm \frac{4}{5}
\end{array}\)

Vì \(\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos a =  – \frac{4}{5}\)

Vậy \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.( – \frac{3}{5})( – \frac{4}{5}) = \frac{{24}}{{25}}\)

\(\begin{array}{l}
\cos 2a = 2{\cos ^2}a – 1 = 2{( – \frac{4}{5})^2} – 1 = \frac{{32}}{{25}} – 1 = \frac{7}{{25}}\\
\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{c{\rm{os}}2a}} = \frac{{24}}{{25}}.\frac{{25}}{7} = \frac{{24}}{7}
\end{array}\)

Ví dụ 4: Tính \({\rm{sin}}\frac{\pi }{8};\tan \frac{\pi }{8}\)

Giải

Sử dụng công thức hạ bậc

Ta có \({\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 – c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{4}\)

Vì \(\sin \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 – \sqrt 2 } }}{2}\)

\({\tan ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 – c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{{1 + c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}} = \frac{{1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\)

Vì \(\tan \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 – \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}}  = \sqrt {\frac{{{{(2 – \sqrt 2 )}^2}}}{2}}  = \sqrt {3 – 2\sqrt 2 }  = \sqrt 2  – 1\)

Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức

\(A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}};B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\)

Giải

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}
A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} – \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{10\pi }}{{12}} + \sin \frac{{20\pi }}{{12}}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{5\pi }}{6} + \sin \frac{{5\pi }}{3}} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{\pi }{6} + \sin \left( { – \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right] = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}) = \frac{1}{4}\left( {1 – \sqrt 3 } \right)
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} – {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} + 0} \right] = \frac{1}{4}
\end{array}\)

Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức

\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4})\)

Giải

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi vế trái thành vế phải của đẳng thức (có thể áp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức)

\(\begin{array}{l}
VT{\rm{ = sinx}} + \cos x = \sin x + \sin (\frac{\pi }{2} – x)\\
= 2\sin \frac{\pi }{4}.\cos (x – \frac{\pi }{4}) = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos (\frac{\pi }{4} – x)\\
= \sqrt 2 .\sin [\frac{\pi }{2} – (\frac{\pi }{4} – x){\rm{]}} = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4}) = VP
\end{array}\)

3. Trắc nghiệm

Câu 1:Giả sử \(A = {\rm{tan }}x.{\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3} – {\rm{ }}x){\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3}\; + {\rm{ }}x)\) được rút gọn thành \(A = {\rm{ tan }}nx\). Khi đó n bằng:

  • A. 2
  • B.1
  • C.4
  • D.3

Câu 2: Nếu $sinx{\rm{ }} = {\rm{ }}3cosx$ thì $sinx.cosx$ bằng:

    • A. 3/10
    • B.2/9
    • C.1/4
    • D.1/6

Câu 3: Cho \(\sin a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) . Tính \(\cos 2a\sin a\)

    • A. \(\frac{{17\sqrt 5 }}{{27}}\)
    • B. \( – \frac{{\sqrt 5 }}{9}\)
    • C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{{27}}\)
    • D. \( – \frac{{\sqrt 5 }}{{27}}\)

Câu 4: Nếu \(\cos \alpha  + \sin \alpha  = \sqrt 2 \,\,\,\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(\alpha \) bằng:

    • A. \(\frac{\pi }{6}\)
    • B. \(\frac{\pi }{3}\)
    • C. \(\frac{\pi }{4}\)
    • D. \(\frac{\pi }{8}\)

Câu 5. Rút gọn biểu thức $M={{\cos }^{4}}{{15}^{\text{o}}}-{{\sin }^{4}}{{15}^{\text{o}}}.$

A. $M=1.$

B. $M=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

C. $M=\frac{1}{4}.$

D. $M=0.$

Câu 6. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

  • A.${{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$
  • B. ${{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$
  • C. $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}.$
  • D. $\cos 3x={{\cos }^{3}}x-{{\sin }^{3}}x.$

Câu 7. Rút gọn $M=\sin \left( x-y \right)\cos y+\cos \left( x-y \right)\sin y.$

  • A. $M=\cos x.$
  • B. $M=\sin x.$
  • C. $M=\sin x\,\cos \text{ }2y.$
  • D. $M=\cos x\,\cos \,\,2y.$

Câu 8. Rút gọn $M=\cos \left( a+b \right)\cos \left( a-b \right)+\sin \left( a+b \right)sin\left( a-b \right).$

  • A. $M=1-2{{\sin }^{2}}b.$
  • B. $M=1+2{{\sin }^{2}}b.$
  • C. $M=\cos 4b.$
  • D. $M=\sin 4b.$

Câu 9. Tam giác $ABC$ có $\cos A=\frac{4}{5}$ và $\cos B=\frac{5}{13}$. Khi đó $\cos C$ bằng

  • A. $\frac{56}{65}.$
  • B. $-\frac{56}{65}.$
  • C. $\frac{16}{65}.$
  • D. $\frac{33}{65}.$

Câu 10. Cho $\A,\ B,\ C$ là các góc của tam giác $ABC$. Khi đó $P=\sin A+\sin B+\sin C$ tương đương với:

  • A. $P=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}.$
  • B. $P=4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}.$
  • C. $P=2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}.$
  • D. $P=2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}.$

Xem thêm:



0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!