T10.ĐS.III.3. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

I. Phương trình bậc nhất ba ẩn

1.Định nghĩa

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là: $ax + by + cz =d $

trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.

2. Ví dụ

Phương trình: $2x+3y-4z=1$

II. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

1.Định nghĩa

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}}\\
{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2}}\\
{{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3}}
\end{array}} \right.$

trong đó x, y, z là ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.

2. Nghiệm của hệ 

Mỗi bộ ba số (x0;y0;z0) là nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình .

3. Phương pháp giải

a) Phương pháp đưa hệ về dạng đặc biệt-Dạng tam giác

Dạng đặc biệt: Hệ phương trình (1):

$\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\\
{b_2}y + {c_2}z = {d_2}\\
{c_3}z = {d_3}
\end{array} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)$

Hệ này gọi là dạng tam giác .

Hệ phương trình (1) trên có dạng đặc biệt: Phương trình trên cùng có đủ ba ẩn; phương trình thức hai có hai ẩn y và z, khuyết ẩn x; phương trình ba có một ẩn z, khuyết ẩn x và ẩn y. Người ta thường gọi là hệ phương trình dạng tam giác.

Việc giải hệ phương trình dạng tam giác này rất đơn giản. Từ phương trình cuối tính được z rồi thay vào phương trình thứ hai ta tính được y và cuối cùng thay z và y tính được vào phương trình đầu sẽ tính được x.

Chú ý: Mọi hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn đều biến đổi được về dạng tam giác, bằng phương pháp khử dần ẩn số(*).

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
\,\,x – y – z = – 1\\
\,\,\,\,\,\,\,7y – z = 5\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2z = 4
\end{array} \right.$

Lời giải

Từ phương trình cuối suy ra $z=2.$ thay giá trị này của $z$ vào phương trình thứ hai, ta được$y=1.$ Cuối cùng, thay các giá trị của $y$ và $z$ vừa tìm được vào phương trình đầu ta tìm được $x=2$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;\,y;\,z)=(2;\,1;\,2)$

Ví dụ 2: Hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 3\\
2x – y + 2z = – 3\\
x – 3y – 3z = – 5
\end{array} \right.$

Lời giải

Nhân hai vế phương trình đầu với 3, xong đem cộng theo vế với phương trình cuối, ta được hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 3\\
x + z = 0\\
4x = 4
\end{array} \right.$

Từ phương trình cuối ta có $x=1,$ thay vào phương trình hai tính được $z=-1.$ thay đồng thời $x,\,z$ vào phương trình đầu thì $y=3.$ Vậy nghiệm của hệ là $(1;\,3;\,-1).$

b) Phương pháp định thức cấp 3-Công thức creme

Ta gọi:

\[D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\
{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\
{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}
\end{array}} \right| = {a_1}{b_2}{c_3} + {a_2}{b_3}{c_1} + {a_3}{b_1}{c_2} – {a_3}{b_2}{c_1} – {a_2}{b_1}{c_3} – {a_1}{b_3}{c_2}\]

Lần lượt thay các cột hệ số ai; bi; ci của ẩn x; y; z bằng cột hệ số di, ta được:

\[{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{d_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\
{{d_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\
{{d_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}
\end{array}} \right| = {d_1}{b_2}{c_3} + {d_2}{b_3}{c_1} + {d_3}{b_1}{c_2} – {d_3}{b_2}{c_1} – {d_2}{b_1}{c_3} – {d_1}{b_3}{c_2}\]

\[{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{d_1}}&{{c_1}}\\
{{a_2}}&{{d_2}}&{{c_2}}\\
{{a_3}}&{{d_3}}&{{c_3}}
\end{array}} \right| = {a_1}{d_2}{c_3} + {a_2}{d_3}{c_1} + {a_3}{d_1}{c_2} – {a_3}{d_2}{c_1} – {a_2}{d_1}{c_3} – {a_1}{d_3}{c_2}\]

\[{D_z} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_1}}&{{d_1}}\\
{{a_2}}&{{b_2}}&{{d_2}}\\
{{a_3}}&{{b_3}}&{{d_3}}
\end{array}} \right| = {a_1}{b_2}{d_3} + {a_2}{b_3}{d_1} + {a_3}{b_1}{d_2} – {a_3}{b_2}{d_1} – {a_2}{b_1}{d_3} – {a_1}{b_3}{d_2}\]

Khi đó:

Xét D Kết quả
$D\ne 0$ Hệ có nghiệm duy nhất $x=\frac{{{D}_{x}}}{D},\text{ }y=\frac{{{D}_{y}}}{D},z=\frac{{{D}_{z}}}{D}$
$D=0$ ${{D}_{x}}\ne 0$ hoặc ${{D}_{y}}\ne 0$ hoặc ${{D}_{z}}\ne 0$ Hệ vô nghiệm.
${{D}_{x}}={{D}_{y}}={{D}_{z}}=0$ Hệ có vô số nghiệm.

Ví dụ 3. Hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& x+y+z=3 \\& 2x-y+2z=-3 \\& x-3y-3z=-5 \\\end{align} \right.$

có nghiệm là:

A. (1; 3;–1)         B. (1; 3;–2)           C. (1; 2; –1)            D. (1; –3; –1)

Lời giải

Chọn A.

Giải tự luận:

Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay casio

Cách 2: Đưa hệ về dạng tam giác.

Cộng phương trình thứ nhất và thứ hai theo vế, ta được hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{align}& x+y+z=3 \\& 3x+3z=0 \\& x-3y-3z=-5 \\\end{align} \right.$

Nhân hai vế phương trình đầu với 3, xong đem cộngtheo vế với phương trình cuối, ta được hệ

$\left\{ \begin{align}& x+y+z=3 \\& x+z=0 \\& 4x=4 \\\end{align} \right.$

Từ phương trình cuối ta có $x=1,$ thay vào phương trình hai tính được $z=-1.$ thay đồng thời  vào phương trình đầu thì $y=3.$ Vậy nghiệm của hệ là $(1;\,3;\,-1).$

Cách 3: Rút ẩn từ một phương trình thay vào hai phương trình còn lại.

Từ phương trình đầu ta rút được $z=3-x-y,$ đem thay vào hai phương trình còn lại ta được hệ:

\[\left\{ \begin{align}& z=3-x-y \\& 2x-y+2z=-3 \\& x-3y-3z=-5 \\\end{align} \right.\]

Thế phương trình đầu vào hai phương trình sau ta có hệ:

\[\left\{ \begin{align}& z=3-x-y \\& -3y=-9 \\& 4x=4 \\\end{align} \right.\]

Từ hai phương trình cuối dễ tính được $x=1,\,y=3.$Thay vào phương trình đầu được $z=-1.$

Vậy nghiệm của hệ là $(1;\,3;\,-1).$

Cách 4: Sử dụng định thức cấp 3.

Dạng 2 : Tìm điềm kiện của tham số để hệ ba phương trình bậc nhất 3 ẩn có nghiệm thỏa điều kiện cho trước ?

Phương pháp giải:

Hệ có dạng: \[\left\{ \begin{align}& {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z={{d}_{1}} \\ & {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z={{d}_{2}} \\ & {{a}_{3}}x+{{b}_{3}}y+{{c}_{3}}z={{d}_{3}} \\\end{align} \right.\cdot \] Một nghiệm của hệ là bộ 3 số $({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})$ thỏa cả 3 phương trình của hệ. Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + y + \left( {m + 1} \right)z = 2}&{(1)}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + 4y + 2z = m + 1}\\
{2x + 3y – z = 1}
\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{(2)}\\
{(3)}
\end{array}}
\end{array}} \right.$

vô số nghiệm?

A.$m=2$.             B.$m=-3$                 C.$m=1$                 D.$m\ne 2$

Chọn A.

Lời giải

Cách 1: Giải bằng phương pháp tự luận

Từ $(3)$suy ra $z=2x+3y-1$. Thế vào hai PT (1)và (2) ta được

$\left\{ \begin{array}{l}
x + y + (m + 1)(2x + 3y – 1) = 2\\
3x + 4y + 2(2x + 3y – 1) = m + 1
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(2m + 3)x + (3m + 4)y = m + 3\\
7x + 10y = m + 3
\end{array} \right.$

Ta có:

\[D=\left| \begin{matrix}   2m+3 & 3m+4  \\   7 & 10  \\\end{matrix} \right|=2-m\]

\[{{D}_{x}}=\left| \begin{matrix}   m+3 & 3m+4  \\   m+3 & 10  \\\end{matrix} \right|=3(m+3)(2-m)\]

\[{{D}_{y}}=\left| \begin{matrix}   2m+3 & m+3  \\   7 & m+3  \\\end{matrix} \right|=-2(m+3)(2-m)\].

Hệ phương trình có vô số nghiệm $\Leftrightarrow D={{D}_{x}}={{D}_{y}}=0\Leftrightarrow m=2$

Cách 2: Giải bằng phương pháp trắc nghiệm: Lấy lần lượt các giá trị của $m$ ở 3 đáp án A, B, C thay vào hệ và sử dụng MTCT để giải. Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + y – z = 1}&{(1)}\\
\begin{array}{l}
2x + 3y + mz = 3\\
x + my + 3z = 2
\end{array}&\begin{array}{l}
(2)\\
(3)
\end{array}
\end{array}} \right.$

vô nghiệm?

A.$m=2$.               B.$m=-3$

C.$m=1$                D.$m\ne 2,m\ne -3$

Chọn B.

Lời giải

Cách 1: Giải bằng phương pháp tự luận

Từ (1) suy ra z=x+ y-1. Thay vào (2) và (3) ta được

$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y + m(x + y – 1) = 3\\
x + my + 3(x + y – 1) = 2
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(m + 2)x + (m + 3)y = m + 3\\
4x + (m + 3)y = 5
\end{array} \right.$

Ta có:

$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{m + 2}&{m + 3}\\
4&{m + 3}
\end{array}} \right| = (m + 3)(m – 2)$

${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{m + 3}&{m + 3}\\
5&{m + 3}
\end{array}} \right| = (m + 3)(m – 2)$

${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{m + 2}&{m + 3}\\
4&5
\end{array}} \right| = m – 2$

Với: ${\rm{D = }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = – 3
\end{array} \right.$

+ Khi $m=2$ ta có $\text{D}={{D}_{x}}={{D}_{y}}=0$  nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình $4x+5y=5\Leftrightarrow y=\frac{-4}{5}x+1$.

Do đó hệ phương trình có nghiệm là  $\left( x;y \right)=\left( 5t;-4t+1 \right),\,\,t\in \mathbb{R}$.

+ Khi $m=-3$ ta có $D=0,\,{{D}_{y}}\ne 0$ nên hệ phương trình vô nghiệm

Chọn đáp án B.

Cách 2: Giải bằng phương pháp trắc nghiệm: Lấy lần lượt các giá trị của $m$ ở 3 đáp án A, B, C thay vào hệ và sử dụng MTCT để giải. Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 1\\
my + z = 1\\
x + mz = 1
\end{array} \right.$

có nghiệm duy nhất?

A.$m\ne 1$.                B.$m=1$

C.$m=-1$                    D.$m\ne -1$

Chọn D.

Lời giải

Cách 1:Giải bằng phương pháp tự luận

Từ (2) suy ra z=1-my . Thay vào (3) ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 1\\
x – {m^2}y = 1 – m
\end{array} \right.$

Hệ có nghiệm duy nhất khi:

$\frac{m}{1} \ne \frac{1}{{ – {m^2}}} \Leftrightarrow m \ne – 1$

Chọn đáp án D.

Cách 2:Giải bằng phương pháp trắc nghiệm: Lấy lần lượt các giá trị của $m$ ở 3 đáp án  B, C thay vào hệ và sử dụng MTCT để giải. Chọn đáp án B.

2. BÀI TẬP
Câu 1. Giải các hệ phương trình

$a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 2y – 3z = 1}\\
{x – 3y = – 1}\\
{y – 3z = – 2}
\end{array}} \right.$

$b)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y – 3z = 1\\
x – y + 2z = 2\\
– x + 2y + 2z = 3
\end{array} \right.$

Câu 2. Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán được 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5 349 000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5 600 000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5 259 000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy là bao nhiêu?

Câu 3. Gọi$\left( {{x}_{0}};{{y}_{o}};{{z}_{0}} \right)$là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}
3x + y – 3z = 1\\
x – y + 2z = 2\\
– x + 2y + 2z = 3
\end{array} \right.$

Tính giá trị của biểu thức: $P = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2.$

A.$P=2.$                         B.$P=14.$                    C.$P=3.$                      D.$P=1.$

Câu 4. Gọi$\left( {{x}_{0}};{{y}_{o}};{{z}_{0}} \right)$là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
3x + y – 3z = 1\\
x – y + 2z = 2\\
– x + 2y + 2z = 3
\end{array} \right.$

Tính giá trị của biểu thức $P=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}.$

A.$P=2.$                         B.$P=14.$                    C.$P=3.$                      D.$P=1.$

Câu 5. Gọi $\left( {{x}_{0}};{{y}_{o}};{{z}_{0}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
3x + y – 3z = 1\\
x – y + 2z = 2\\
– x + 2y + 2z = 3
\end{array} \right.$

Tính giá trị của biểu thức $P=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}.$

A. $P=1.$                    B. $P=2.$                  C. $P=3.$                     D. $P=14.$

——————–

 


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!