T11.GT.V.2.2. Các dạng toán đạo hàm cơ bản thường gặp
Loại 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Ví dụ 1 :
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\) tại điểm \(x_0=2\)
Bài giải :
Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=2\). Ta có :
\(\Delta y=f\left(2+ \Delta x\right)-f\left(2\right)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=-\frac{\Delta x}{2\left(2+\Delta x\right)}\)
\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{2\left(2+\Delta x\right)}\)
\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{-1}{2\left(2+\Delta x\right)}=-\frac{1}{4}\)
Vậy \(f’\left(2\right)=-\frac{1}{4}\)
Ví dụ 2 : Tính đạo hàm hàm số : \(y=\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}\)
Bài giải :
Xét hàm số : \(y=\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}\) ta có \(y’=\frac{\left(x+\sqrt{x}\right)’}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1+2\sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1+2\sqrt{x}+2\sqrt{x+\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}\)
Loại 2: Chứng minh các đẳng thức về đạo hàm
Ví dụ 1:
Cho \(y=e^{-x}.\sin x\), chứng minh hệ thức \(y”+2y’+2y=0\)
Bài giải :
Ta có \(y’=-e^{-x}.\sin x+e^{-x}.\cos x\)
\(y”=e^{-x}.\sin x-e^{-x}.\cos x-e^{-x}.\cos x-e^{-x}.\sin x=-2e^{-x}.\cos x\)
Vậy \(y”+2y’+2y=-2.e^{-x}.\cos x–2.e^{-x}.\sin x+2.e^{-x}.\cos x+2.e^{-x}.\sin x=0\)
Ví dụ 2 :
Cho \(y=\frac{1}{2}x^2e^x\),chứng minh hệ thức \(y”-2’+y=e^x\)
Bài giải :
Ta có : \(y’=xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x\)
\(y”=e^x+xe^x+xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x=e^x+3xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x\)
Khi đó : \(y”+2y’+y=e^x+2xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x-x^2e^x+\frac{1}{2}x^2e^x=e^x\)
Ví dụ 3 : Cho \(y=\sqrt{2x+x^2}\), chứng minh rằng ta có hệ thức \(y^3y”+1=0\)
Bài giải :
Ta có : \(y’=\frac{2+2x}{2\sqrt{2x+x^2}}=\frac{1+x}{\sqrt{2x+x^2}}\)
\(y”=\frac{\sqrt{2x+x^2}-\left(1+x\right)\frac{1+x}{\sqrt{2x+x^2}}}{2x+x^2}=\frac{2x+x^2-\left(1+x\right)^2}{2x+x^2\sqrt{2x+x^2}}=\frac{-1}{2x+x^2\sqrt{2x+x^2}}\)
Ta có :\(y^3y”+1=\left(2x+x^2\right)\sqrt{2x+x^2}\left(\frac{-1}{\left(2x+x^2\right)\sqrt{2x+x^2}}\right)+1=0\)
Loại 3: Phương trình và bất phương trình có đạo hàm
Ví dụ 1: Cho \(f\left(x\right)=x^3\ln x\), giải phương trình :
\(f’\left(x\right)-\frac{1}{x}f\left(x\right)=0\) (1)
Bài giải :
Ta có \(f\left(x\right)=3x^2\ln x+x^3.\frac{1}{x}=3x^2\ln x+x^2\)
Vậy (1) \(\Leftrightarrow3x^2\ln x+x^2-x^2\ln x=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2\ln x+x^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(2\ln x+1\right)=0\) (2)
Rõ ràng \(x>0\) là điều kiện tồn tại phương trình nên :
\(\left(2\right)\Leftrightarrow2\ln x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\ln x=-\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\)
Ví dụ 2 :
Cho \(f\left(x\right)=2x^2\cos^2\frac{x}{2}\) và \(g\left(x\right)=x-x^2\sin x\). Giải phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\) (1)
Bài giải :
Ta có : \(f’\left(x\right)=4x\cos^2\frac{x}{2}+2x^2\cos\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}\right)=4x\cos^2\frac{x}{2}-x^2\sin x\)
Vậy (1) \(\Leftrightarrow4x\cos^2\frac{x}{2}-x^2\sin x=x-x^2\sin x\)
\(\Leftrightarrow4x\cos^2\frac{x}{2}=x\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{4}\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\1+\cos x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\\cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi,k\in Z\end{array}\right.\)
Ví dụ 3 : Cho \(f\left(x\right)=2x^3+12x^2\) và \(g\left(x\right)=9x^2+72x\), giải phương trình \(f’\left(x\right)+g’\left(x\right)\le0\)
Bài giải :
Ta có : \(f’\left(x\right)=6x^2+24x\)
\(g’\left(x\right)=18x+72\)
Khi đó (1) \(\Leftrightarrow6x^2+24x+18+72\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2+7x+12\le0\)
\(\Leftrightarrow-4\le x\le-3\)
Loại 4: Đạo hàm cấp cao
Ví dụ : Cho \(f\left(x\right)=\frac{5x-3}{x^2-3x+2}\); tìm \(f^{\left(n\right)}\left(x\right)\)
Bài giải :
Ta hãy tìm A, B sao cho : \(\frac{5x-3}{x^2-3x+2}=\frac{5x-3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}\) (1)
Từ (1) ta có \(5x-3=A\left(x-2\right)+B\left(x-1\right)=x\left(A+B\right)-\left(2A+B\right)\)
\(\Rightarrow\begin{cases}A+B=5\\2A+B=3\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}A=-2\\B=7\end{cases}\)
Vậy \(f\left(x\right)=\frac{5x-3}{x^2-3x+2}=\frac{-2}{\left(x-1\right)}+\frac{7}{\left(x-2\right)}\)
\(\Rightarrow f^{\left(n\right)}\left(x\right)=-2\left(\frac{1}{x-1}\right)^{\left(n\right)}+7\left(\frac{1}{x-2}\right)^{\left(n\right)}\)
Từ ví dụ trên, suy ra :
\(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=7\left(-1\right)^nn!\frac{1}{\left(x-2\right)^{n+1}}-2\left(-1\right)n!\frac{1}{\left(x-1\right)^{n+1}}=\left(-1\right)^nn!\left[\frac{7}{\left(x-2\right)^{n+1}}-\frac{2}{\left(x-1\right)^{n+1}}\right]\)
Loại 5 : Bài toán chứng minh tồn tại đạo hàm
Ví dụ 1 : Cho hàm số \(f\left(x\right)=\begin{cases}\frac{1-\cos x}{x};x\ne0\\2;x=0\end{cases}\) có tồn tại đạo hàm \(f\left(x\right)\) tại \(x=0\) hay không ?
Bài giải :
Ta có : \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}.\lim\limits_{x\rightarrow0}\sin\frac{x}{2}=1.0=0\)
Do đó \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)\ne f\left(0\right)\) vậy \(f\left(x\right)\) là hàm số không liên tục tại \(x=0\) suy ra \(f\left(x\right)\) không có đạo hàm tại x = 0 (không thỏa mãn điều kiện cần)
Ví dụ 2 : Cho hàm số \(f\left(x\right)\) xác định trên R và thỏa mãn.
\(\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)^2\le\left|x-y\right|^3\), mọi \(x,y\in R\)
Chứng minh rằng hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm trên R
Bài giải :
Lấy \(x_0\) tùy ý thuộc R. Từ giả thiết ta có :
\(\left(f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\right)^2\le\left|x_0+\Delta x-x_0\right|^3\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\right)^2\le\left|\Delta x\right|\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{\left|\Delta x\right|}\le\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\le\sqrt{\left|\Delta x\right|}\)
Do \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow x}\sqrt{\left|\Delta x\right|}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow x}\left(-\sqrt{\left|\Delta x\right|}\right)=0\) nên theo “nguyên lí kép” ta có
\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=0\)
Vậy tồn tại đạo hàm của \(f\left(x\right)\) tại \(x_0\)
Do \(x_0\) tùy thuộc R nên \(f\left(x\right)\) là hàm số có đạo hàm trên R
Hơn thế, ta còn có \(f’\left(x\right)=0\) với mọi \(x\in R\)
———————-
0 Bình luận