T11.GT.V.1.1. Định nghĩa đạo hàm

T11.GT.V.1.1. Định nghĩa đạo hàm

1.  Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), x₀ ∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\frac{{f(x) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}$  khi x → x₀  được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại  x₀, kí hiệu là f'( x₀) hay y'( x₀). Như vậy:

                    $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}$

   Nếu đặt x – x0 = ∆x và ∆y = f(x0+∆x) – f(x₀) thì ta có

                      $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$

   Đại lượng ∆x được gọi là số gia của đối số tại x₀ và đại lượng ∆y được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

Vậy:  $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$

Chú ý:

• Số gia đối số là:$\Delta x=x-{{x}_{0}}$
• Số gia tương ứng của hàm số là: $\Delta y=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Với ∆x là số gia của số đối tại x₀ ,tính ∆y = f(x₀+∆x)- f(x₀);

Bước 2. Lập tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$;

Bước 3. Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Nhận xét: nếu thay x₀ bởi x ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a;b).

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:

a).$f(x)=2{{x}^{3}}+1$ tại $x=2$

b).$f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\rm{\;}}&{\frac{{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} – 1}}{x}{\rm{\; khi\;\; }}x \ne 0}\\
{\rm{\;}}&{0{\rm{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; khi\;\; }}x = 0{\rm{\;\; }}}
\end{array}} \right.$

tại $x=0$

c). $f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ tại$x=1$

Lời giải:

a). Ta có $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}-16}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,2({{x}^{2}}+2x+4)=24$$\Rightarrow f'(2)=24$.

b). Ta có : $f'(1)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{2}}{x-1}$

$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

c). Ta có$f(0)=0$, do đó: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}-1}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}+1}=\frac{1}{2}$

Vậy: $f'(0)=\frac{1}{2}$.

3. Đạo hàm một bên

1.Đạo hàm bên trái của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$, kí hiệu là ${f}'(x_{0}^{-})$ được định nghĩa là:

${f}'(x_{0}^{-})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

trong đó $x\to x_{0}^{-}$ được hiểu là $x\to x_{0}^{{}}$ và $x<x_{0}^{{}}$.

2. Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm ${{x}_{0}}$, kí hiệu là $f'({x^ + }_0)$ được định nghĩa là:

${f}'(x_{0}^{+})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

trong đó $x\to x_{0}^{+}$ được hiểu là $x\to x_{0}^{{}}$ và $x>x_{0}^{{}}$.

Định lí: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu $f'({x^ – }_0)$ và $f'({x^ + }_0)$ tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có: $f'({x^ + }_0) = f'({x^ – }_0) = f'({x_0})$

4. Đạo hàm trên một khoảng

Đạo hàm trên một khoảng

Định nghĩa:

1. Hàm số $y=f\left( x \right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng $\left( a;\text{ }b \right)$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
2. Hàm số $y=f\left( x \right)$ được gọi là có đạo hàm trên đoạn $\left[ a;\text{ }b \right]$ nếu nó có đạo hàm trên khoảng $\left( a;\text{ }b \right)$ và có đạo hàm bên phải tại $a$, đạo hàm bên trái tại $b$.

Qui ước: Từ nay, khi ta nói hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho.

5. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm

Định lí. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại x_0.

• @ Chú ý:

Đảo lại không đúng, tức là một hàm số liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$ có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Như vậy, hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

1. Ý nghĩa hình học

a)Tiếp tuyến của đường cong phẳng:

Cho đường cong phẳng $\left( C \right)$ và một điểm cố định ${{M}_{0}}$ trên $\left( C \right)$, M là điểm di động trên $\left( C \right)$. Khi đó ${{M}_{0}}M$ là một cát tuyến của $\left( C \right)$.

Định nghĩa: Nếu cát tuyến ${{M}_{0}}M$ có vị trí giới hạn ${{M}_{0}}T$ khi điểm $M$ di chuyển trên $\left( C \right)$ và dần tới điểm ${{M}_{0}}$ thì đường thẳng ${{M}_{0}}T$ được gọi là tiếp tuyến của đường cong $\left( C \right)$ tại điểm ${{M}_{0}}$. Điểm ${{M}_{0}}$ được gọi là tiếp điểm.

b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( a;\text{ }b \right)$ và có đạo hàm tại${{x}_{0}}\in \left( a;\text{ }b \right)$, gọi $\left( C \right)$ là đồ thị hàm số đó.

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ là hệ số góc của tiếp tuyến ${{M}_{0}}T$ của $\left( C \right)$ tại điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};\text{ }f({{x}_{0}}) \right)$

c) Phương trình của tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};\text{ }f({{x}_{0}}) \right)$ là :

$y-{{y}_{0}}={f}’\left( x \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)$

Ví dụ:  Cho hàm số$y=f(x)=\frac{1}{x}$. có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$, biết tiếp điểm có hoành độ bằng $2$.

Giải

Tính được: $f'(2) = – \frac{1}{4}$; $y(2) = \frac{1}{2}$

Phương trình tiếp tuyến tại x=2 là: $y = – \frac{1}{4}\left( {x – 2} \right) + \frac{1}{2} = – \frac{1}{4}x + 1$

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a)Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:$s=f\left( t \right)$, với $f\left( t \right)$ là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm ${{t}_{0}}$ là đạo hàm của hàm số $s=f\left( t \right)$ tại ${{t}_{0}}$.

$v\left( {{t}_{0}} \right)={s}’\left( {{t}_{0}} \right)={f}’\left( {{t}_{0}} \right)$

b)Cường độ tức thời: Điện lượng $Q$ truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:$Q=f\left( t \right)$, với $f\left( t \right)$ là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số $Q=f\left( t \right)$ tại ${{t}_{0}}$.

———————–

Phần sau: Qui tắc tính đạo hàm.