T11.GT.V.6.1. Ứng dụng vật lý của đạo hàm

T11.GT.V.6.1. ỨNG DỤNG VẬT LÝ CỦA ĐẠO HÀM

I. LÝ THUYẾT

Vận tốc tức thời:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:$s=f\left( t \right)$, với $f\left( t \right)$ là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm ${{t}_{0}}$ là đạo hàm của hàm số $s=f\left( t \right) tại {{t}_{0}}.$

$ v\left( {{t}_{0}} \right)={s}’\left( {{t}_{0}} \right)={f}’\left( {{t}_{0}} \right)$

Cường độ tức thời:

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:$Q=f\left( t \right)$, với $ f\left( t \right)$ là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số $Q=f\left( t \right) tại {{t}_{0}}.$

$I\left( {{t}_{0}} \right)={Q}’\left( {{t}_{0}} \right)={f}’\left( {{t}_{0}} \right)$

II. một số bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Một vật chuyển động theo quy luật $s=-\frac{1}{2}{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian $10$ giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

• A. $216\text{ }\left( m\text{/}s \right)$
• B. $30\text{ }\left( m\text{/}s \right)$
• C. $400\text{ }\left( m\text{/}s \right)$                  
• D. $54\,\,\left( m\text{/}s \right)$

Lời giải

Vận tốc tại thời điểm $t$ là $v(t)={s}'(t)=-\frac{3}{2}{{t}^{2}}+18t$ với $t\in \left[ 0;10 \right]$.

Ta có : ${v}'(t)=-3t+18=0\Leftrightarrow t=6$.

Suy ra: $v\left( 0 \right)=0;v\left( 10 \right)=30;v\left( 6 \right)=54$. Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng $54\,\,\left( m\text{/}s \right)$.

Ví dụ 2. Một vật chuyển động theo quy luật $s=-\frac{1}{2}{{t}^{3}}+6{{t}^{2}}$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật đó bắt đầu chuyển động và $s\left( \text{m} \right)$ là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian $6$ giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

• A. $64\left( \text{m/s} \right)$
• B. $24\left( \text{m/s} \right)$
• C. $18\left( \text{m/s} \right)$
• D. $108\left( \text{m/s} \right)$

Lời giải

Vận tốc của vật chuyển động là $v={s}’=-\frac{3}{2}{{t}^{2}}+12t=f\left( t \right)$

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ 0;6 \right]$

Ta có ${f}’\left( t \right)=-3t+12\Rightarrow {f}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=4\in \left[ 0;6 \right]$

$f\left( 0 \right)=0;f\left( 4 \right)=24;f\left( 6 \right)=18$

Vậy vận tốc lớn nhất là $24\left( \text{m/s} \right)$.

Ví dụ 3. Một vật chuyển động theo quy luật $s=-\frac{1}{3}{{t}^{3}}+6{{t}^{2}}$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?

• A.$144$ (m/s)
• B. $36$ (m/s)
• C. $243$ (m/s)             
• D. $27$ (m/s)

Lời giải

Ta có : $v={s}’=-{{t}^{2}}+12t$ ; ${v}’=-2t+12$, ${v}’=0\Leftrightarrow t=6$

BBT

Nhìn bbt ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi $t=6$.Giá trị lớn nhất là $v\left( 6 \right)=36m/s$

————————————

Xem thêm: Định nghĩa đạo hàm