T11.GT.III.2.CẤP SỐ CỘNG

1. Định nghĩa

Cho dãy $\left( {{u_n}} \right) = {u_1};{u_2};…;{u_n};…$

Dãy \(u_n\) được gọi là cấp số cộng nếu mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm một hằng số.

Kí hiệu: $ \div \left( {{u_n}} \right) $

  • \(u_{n+1}=u_n+ d\) với \(n\in {\mathbb N}^*\).
  • \(d\) là hằng số gọi là công sai của cấp số cộng.

Hệ quả 1: Công sai \(d = u_{n+1}-u_n\).

Ví dụ 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng

$\left( {{u_n}} \right) = 1;2;3;…;n;…$

$\left( {{v_n}} \right) = 1;3;7;12…$

Giải

a) Xét $\left( {{v_n}} \right)$. Ta có:

$\begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_2} = 2 = 1 + 1 = {u_1} + 1\\
{u_3} = 3 = 2 + 1 = {u_2} + 1\\
….
\end{array}$

vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với d=1.

b)Xét $\left( {{v_n}} \right)$. Ta có:

$\begin{array}{l}
{v_1} = 1\\
{v_2} = 3 = 1 + 2 = {v_1} + 2\\
{v_3} = 7 = 3 + 4 = {v_2} + 4\\
….
\end{array}$

vậy $\left( {{v_n}} \right)$ không phải là một cấp số cộng.

Hệ quả 2. Nếu (un) có : $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = … = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = … = d;\forall {u_1} \ne 0$ thì (un) là một cấp số cộng.

Ví dụ 2. Cho Cấp số cộng \(3;6;9;12;15\) . Tìm số hạng đầu và công sai d.

Giải

  • Số hạng đầu u1=3;
  • Công sai d=u2-u1=6-3=3.

2. Số hạng tổng quát

\(u_n= u_1+ (n – 1)d, (n ≥ 2)\).

\(d = \dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}\).

Ví dụ:

Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = – 1,d = 3\). Tìm \({u_{20}}\).

Giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_{20}} = {u_1} + \left( {20 – 1} \right)d\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + 19d\\\,\,\,\,\,\,\, = – 1 + 19.3\\\,\,\,\,\,\,\, = 56\end{array}\)

3. Tính chất

\( u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k ≥ 2\) hay \(u_{k+1}+u_{k-1}= 2u_k\)

Ví dụ:

Cho ba số \(3;x;9\) theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm \(x\).

Giải

Ta có: \(x = \frac{{3 + 9}}{2} = 6\).

Vậy \(x = 6\).

4. Tổng \(n\) số hạng đầu

\(S_n= \dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}\), với \(n\in {\mathbb N}^*\)

hoặc \({S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}d\)

hoặc \({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]}}{2}\)

Ví dụ:

Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = – 1,d = 3\). Tính \({S_{20}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{20}} = 20{u_1} + \frac{{20.\left( {20 – 1} \right)}}{2}.d\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 20.\left( { – 1} \right) + \frac{{20.19}}{2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 550\end{array}\)

————————-

Phần trước: Dãy số


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!