T11.GT.V.3. ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Đạo hàm của hàm số y=sin x
Định lí:
Hàm số y=sin x có đạo hàm với mọi x thuộc R và $(sin x)’=cos x$.
Chứng minh
Cho x số gia $\Delta x$. Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {x + \Delta x} \right) – \sin \left( x \right)}}{{\Delta x}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\cos \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right)$
$ = 1.\cos x = \cos x$
Vậy : $(sin x)’=cos x$. (đpcm)
Mở rộng
Nếu $u=u(x)$ thì $(sin u)’=u’.cos u$.
Ví dụ:
+$\left[ {\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]’ $=$ \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)’.\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) $=$ 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$
+$\left[ {\sin \left( {\sin x} \right)} \right]’ $= $\left( {\sin x} \right)’.\cos \left( {\sin x} \right) $=$ \cos x\cos \left( {\sin x} \right)$
2. Đạo hàm của hàm số y=cos x
Định lý
Hàm số $y=cos x$ có đạo hàm với mọi x thuộc R và $(cos x)’=-sin x$.
Chứng minh
Áp đụng đạo hàm của y=sin x, ta có:
$\left( {\cos x} \right)’ = \left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)} \right]’ $=$ \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)’.\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) $=$ – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = – \sin x$. (đpcm).
Mở rộng
Nếu $u=u(x)$ thì $(cos u)’=-u’.sin u$.
Ví dụ
+$\left[ {\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]’ $=$- \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)’.\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) $=$- 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$
+$\left[ {\cos \left( {\sin x} \right)} \right]’$ =$- \left( {\sin x} \right)’.\sin \left( {\sin x} \right)$ =$- \cos x\sin \left( {\sin x} \right)$
3. Đạo hàm của hàm số y=tan x
Định lí
Hàm số $y=tan x$ có đạo hàm với $\forall x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $ và $\left( {\tan x} \right)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$.
Chứng minh
$\left( {\tan x} \right)’ $=$ \left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)’ $=$ \frac{{(\sin x)’\cos x – \sin x(\cos x)’}}{{{{\cos }^2}x}} $=$ \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} $=$ \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ (đpcm).
Mở rộng
Nếu $u=u(x)$ thì $\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}$.
Ví dụ
+ $\left[ {\tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]’ $=$ \frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)’}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}} $=$ \frac{2}{{{{\cos }^2}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}$
4. Đạo hàm hàm số y=cot x
Định lí
Hàm số $y=cot x$ có đạo hàm $\forall x \ne k\pi $ và $\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.
Chứng minh
$(\cot x)’ = \left( {\tan \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)} \right)’ $=$ \frac{{\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)’}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)}} $=$ \frac{{ – 1}}{{{{\sin }^2}x}}$
Mở rộng
Nếu $u=u(x)$ thì $(\cot u)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}$
Ví dụ
+ $(\cot 2x)’ = – \frac{{\left( {2x} \right)’}}{{{{\sin }^2}2x}} = – \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$.
5. Bài tập luyện tập
Câu 1. Cho hàm số $y=\cos \left( \frac{2\pi }{3}+2x \right)$. Khi đó phương trình ${y}’=0$ có nghiệm là:
A. $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi $.
B. $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$.
C. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi $.
D. $x=-\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$.
Câu 2. Đạo hàm của hàm số $y=\sin \left( \frac{\pi }{2}-2x \right)$ là ${y}’$ bằng
A. $-2\sin 2x$.
B. $-\cos \left( \frac{\pi }{2}-2x \right)$.
C. $2\sin 2x$.
D. $\cos \left( \frac{\pi }{2}-2x \right)$.
Câu 3. Hàm số $y=f\left( x \right)=\frac{2}{\cos \left( \pi x \right)}$ có $f’\left( 3 \right)$ bằng:
A. $2\pi $.
B. $\frac{8\pi }{3}$.
C. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
D. $0$.
Câu 4. Cho hàm số $y=\cos 3x.\sin 2x.$ Tính $y’\left( \frac{\pi }{3} \right)$ bằng:
A. $y’\left( \frac{\pi }{3} \right)=-1$.
B. $y’\left( \frac{\pi }{3} \right)=1$.
C. $y’\left( \frac{\pi }{3} \right)=-\frac{1}{2}$.
D. $y’\left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}$.
Câu 5. Cho hàm số $y=\frac{\cos 2x}{1-\sin x}$. Tính $y’\left( \frac{\pi }{6} \right)$ bằng:
A. $y’\left( \frac{\pi }{6} \right)=1$.
B. $y’\left( \frac{\pi }{6} \right)=-1$.
C. $y’\left( \frac{\pi }{6} \right)=\sqrt{3}$.
D. $y’\left( \frac{\pi }{6} \right)=-\sqrt{3}$.
Câu 6. Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x}$. Giá trị $f’\left( \frac{{{\pi }^{2}}}{16} \right)$ bằng:
A. $0$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $\frac{2}{\pi }$.
D. $\frac{2\sqrt{2}}{\pi }$.
Câu 7. Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\sqrt{\tan x+\cot x}$. Giá trị $f’\left( \frac{\pi }{4} \right)$ bằng:
A. $\sqrt{2}$.
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
C. $0$.
D. $\frac{1}{2}$.
Câu 8. Cho hàm số:
$y=f(x)=\left\{ \begin{align} & \sin x\text{khi}x\ge 0 \\ & \sin \left( -x \right)\text{khi}x<0 \\ \end{align} \right.$.
Tìm khẳng định SAI?
A. Hàm số $f$ không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=0$.
B. Hàm số $f$ không liên tục tại ${{x}_{0}}=0$.
C. ${f}’\left( \frac{\pi }{2} \right)=0$.
D. $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1$.
Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số sau
$f(x)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}\sin \frac{1}{x}\text{ khi }x\ne 0 \\ & 0\text{ khi }x=0\text{ } \\ \end{align} \right.$
A. $f'(x)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}\sin \frac{1}{x}-x\cos \frac{1}{x}\text{ khi }x\ne 0 \\ & \text{0 khi }x=0 \\ \end{align} \right.$
B. $f'(x)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\sin \frac{1}{x}-x\cos \frac{1}{x}\text{ khi }x\ne 0 \\ & 0\text{ khi }x=0 \\ \end{align} \right.$
C. $f'(x)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\sin \frac{1}{x}+x\cos \frac{1}{x}\text{ khi }x\ne 0 \\ & 0\text{ khi }x=0 \\ \end{align} \right.$
D. $f'(x)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\text{ khi }x\ne 0 \\ & 0\text{ khi }x=0 \\ \end{align} \right.$
Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số sau $y=-\frac{\cos x}{3{{\sin }^{3}}x}+\frac{4}{3}\cot x$
A. $y’={{\cot }^{3}}x-1$
B. $y’=3{{\cot }^{4}}x-1$
C. $y’={{\cot }^{4}}x-1$
D. $y’={{\cot }^{4}}x$
————————————
0 Bình luận