Bài 5. Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc đáy

Nguyên tắc chung:

+ Chiều cao khối chóp bằng độ dài cạnh vuông đáy

=> Tính chiều cao khối chóp dựa vào hệ thức lượng giác trong tam giác vuông

+ Diện tích đáy dựa vào công thức diện tích Tam giác; Hình chữ nhật; Hình vuông;…

Ví dụ Minh họa 

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), $AB = a, AD = 2a$. Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng

A. $\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{18}}$

B. $\frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}$

C. $\frac{{{a^3}}}{3}$

D. $\frac{{2{a^3}}}{3}$

Giải

+ h=AB=a

+ Đáy là hình chữ nhật cạnh a và 2a. ${S_{ABCD}} = a.2a = 2{a^2}$

Vậy: $V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a.a.2a = \frac{{2{a^3}}}{3}$

Ví dụ 2. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , $SA = a$ và vuông góc với đáy, M là trung điểm của  Thể tích khối chóp MACD

A. $\frac{{{a^3}}}{4}$

B. $\frac{{{a^3}}}{{12}}$

C. $\frac{{{a^3}}}{{36}}$

D. ${a^3}$

Giải

+ Khoảng cách từ M đến mặt phẳng đáy bằng nửa khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy suy ra thể tích của khối chóp MACD là:

${V_{MACD}} = \frac{1}{2}{V_{SACD}} = \frac{1}{4}{V_{SABCD}} = \frac{1}{{12}}{a^3}$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có $SA = 3{\rm{a}}$ và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có $AB = BC = 2{\rm{a}}$, góc $\widehat {ABC} = {120^0}$. Tính thể tích khối chóp đã cho.

A. ${V_{S.ABC}} = 3{a^3}\sqrt 3 $

B. ${V_{S.ABC}} = 2{a^3}\sqrt 3 $

C. ${V_{S.ABC}} = {a^3}\sqrt 3 $

D. ${V_{S.ABC}} = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

Giải

Ta có: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC.\sin {120^0} = {a^2}\sqrt 3 $

Vậy: ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = {a^3}\sqrt 3 $

Ví dụ 4. Khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh $SA = 3a$ và  SA vuông góc với mặt phẳng đáy . Tính thể tích  của khối chóp .

Giải

+ h=$SA = 3a$.

+ Diện tích đáy: ${S_d} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Thể tích: $V = \frac{1}{3}{S_d}h = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.3a$ $ = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$.

Trắc nghiệm

Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh $AB = a,AD = a\sqrt 2 $, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, góc giữa SC và đáy bằng 600. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:

A. $\sqrt 2 {a^3}$

B. $3\sqrt 2 {a^3}$

C. $3{a^3}$

D. $\sqrt 6 {a^3}$

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SC = \sqrt 5 $. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$

A. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

B. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$

C. $V = \sqrt 3 $

D. $V = \frac{{\sqrt {15} }}{3}$

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có $AB = a,BC = a\sqrt 3 ,AC = a\sqrt 5 $ và SA vuông góc với mặt đáy, SB tạo với đáy góc ${45^0}$. Thể tích của khối chóp S.ABC là:

A. $\frac{{\sqrt {11} }}{{12}}{a^3}$

B. $\frac{{{a^3}}}{{12}}$

C. $\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}$

D. $\frac{{\sqrt {15} }}{{12}}{a^3}$

Câu 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau:

BA = 3a, BC =BD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và  Tính thể tích khối chóp

A. $V = 8{a^3}$

B. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$

C. $V = \frac{{3{a^3}}}{2}$

D. $V = {a^3}$

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450  . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{{{a^3}}}{2}$

B. $V = \frac{{{a^3}}}{3}$

C. $V = \frac{{{a^3}}}{6}$

D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Góc giữa  SB và mặt đáy bằng ${60^0}$. Tính thể tích  của khối chóp .

A. $V = \frac{{3{a^3}}}{4}$

B. $V = \frac{{{a^3}}}{4}$

C. $V = \frac{{{a^3}}}{{12}}$

D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$


Phần trước: Thể tích khối chóp đều

 


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!