Phương pháp tích phân tính Diện tích hình phẳng

1. Phương pháp tích phân tính Diện tích hình phẳng

•Trường hợp 1:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=f\left(x\right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=a;x=b\) là

\(S=\int^b_a\left|f\left(x\right)\right|dx\)

• Trường hợp 2:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=f\left(x\right)\), \(y=g\left(x\right)\) và hai đường thẳng \(x=a;x=b\) là

\(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx\)

Giả sử  x1;x2;…;xn lần lượt là các nghiệm của phương trình f(x)=g(x) thuộc (a;b). Khi đó:

\(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx\)

$ = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|} dx + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|} dx + … + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|} dx$

• Trường hợp 3:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=f(x) và y=g(x) cắt nhau.

Giả sử tại hai điểm A, B có hoành độ x1;x2 là nghiệm của phương trình: f(x)=g(x). Khi đó, diện tích hình phẳng là:

$S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|} dx$

•Trường hợp 4:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng \(y=a;y=b\) là

\(S=\int^b_a\left|f\left(y\right)-g\left(y\right)\right|dy\)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \(y=x^3-x\) và \(y=x-x^2\)

Giải: Ta xét hiệu hai hàm \(f_1\left(x\right)=x^3-x\) và \(f_2\left(x\right)=x-x^2\) là:

\(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)=x^3+x^2-2x=x\left(x^2+x-2\right)=x\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

Ta có \(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\) bằng 0 tại 3 điểm có hoành độ là -2; 0; 1. Vậy diện tích hình giới hạn bởi hai đồ thị là:

\(S=\int\limits^1_{-2}\left|x^3+x^2-2x\right|\text{d}x=\left|\int\limits^0_{-2}\left(x^3+x^2-2x\right)\text{d}x\right|+\left|\int\limits^1_0\left(x^3+x^2-2x\right)\text{d}x\right|\)

\(=\left|\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right)|^0_{-2}\right|+\left|\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right)|^1_0\right|\)

\(=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}\)

Ví dụ 2:

 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(x=\ln 3;x=\ln 8;y=0;y=\sqrt{e^x+1}\). ĐS: \(S=2+\ln 3-\ln 2\) (đvdt)

Ví dụ 3:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=\ln x; y=0;x=e\). ĐS: S=1 (đvdt)

Ví dụ 4:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=x^3+x^2-2x\) và trục hoành. ĐS: \(S=\dfrac{37}{12}\) (đvdt)​

———————–

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

——————

Xem thêm:

  • Phương pháp tính tích phân
  • Phương pháp tính tích phân từng phần
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 1
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 2
  • Phương pháp tính tích phân bằng nhân liên hợp
  • Phương pháp tính tích phân hàm dưới dấu trị tuyệt đối
  • Phương pháp tính tích phân các hàm có dạng đặc biệt
  • Một số dạng thường gặp trong tính tich phân
  • Ứng dụng tich phân vào tính thể tích
  • Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng

———————–


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!