Phương pháp tích phân từng phần.

Định lí .

Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $\left[ a;b \right]$ thì:
\[\int\limits_{a}^{b}{u(x){{v}^{‘}}(x)dx=\left( u(x)v(x) \right)\left| \begin{align}
& b \\
& a \\
\end{align} \right.-\int\limits_{a}^{b}{v(x){{u}^{‘}}(x)dx}}\]
hay
\[\int\limits_{a}^{b}{udv=uv\left| \begin{align}
& b \\
& a \\
\end{align} \right.-\int\limits_{a}^{b}{vdu}}\].

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
• Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng $udv=u{{v}^{‘}}dx$ bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại $dv={{v}^{‘}}(x)dx.$
• Bước 2: Tính $du={{u}^{‘}}dx] và [v=\int{dv}=\int{{{v}^{‘}}(x)dx}$.

• Bước 3: Tính $\int\limits_{a}^{b}{vdu}=\int\limits_{a}^{b}{vu’dx}$ và $uv\left| \begin{align}
& b \\
& a \\
\end{align} \right.$.

• Bước 5: Áp dụng công thức trên.

Ví dụ 1 :

a)Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{3+\ln x}{{{(x+1)}^{2}}}dx}$
\[\begin{align}
& I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{3+\ln x}{{{(x+1)}^{2}}}dx}=3\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{{{(x+1)}^{2}}}+\int\limits_{1}^{3}{\frac{\ln x}{{{(x+1)}^{2}}}dx}} \\
& {{I}_{1}}=3\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{{{(x+1)}^{2}}}}=\left. \frac{-3}{(x+1)}\, \right|_{1}^{3}=\frac{3}{4} \\
& {{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{3}{\frac{\ln x}{{{(x+1)}^{2}}}dx} \\
\end{align}\]
Đặt u = lnx $\Rightarrow du=\frac{dx}{x}$
$dv=\frac{dx}{{{(x+1)}^{2}}}.\,$ Chọn $v=\frac{-1}{x+1}$
${{I}_{2}}=\left. -\frac{\ln x}{x+1} \right|_{1}^{3}+\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{x(x+1)}}=-\frac{\ln 3}{4}+\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{x}}-\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{x+1}=-\frac{\ln 3}{4}+\ln \frac{3}{2}}$
Vậy : $I=\frac{3}{4}(1+\ln 3)-\ln 2$

b) Tính $\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx}$
Giải:

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = \frac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}
I = \int\limits_1^e {x\ln xdx} \\
= \frac{{{x^2}}}{2}\ln x\left| \begin{array}{l}
e\\
1
\end{array} \right. – \frac{1}{2}\int\limits_1^e {xdx} \\
= \frac{{{e^2}}}{2} – \frac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l}
e\\
1
\end{array} \right. = \frac{{{e^2} + 1}}{4}
\end{array}$

Ví dụ 2.

Tính các tích phân sau:
a) $\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln x}{{{x}^{5}}}dx}$
b) $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx}$

c)$\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}$
d) $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{e}^{x}}\cos xdx}$

Giải: 

a) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = \frac{1}{{{x^5}}}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = – \frac{1}{{4{x^4}}}
\end{array} \right.$

Do đó:

$\begin{array}{l}
I = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^5}}}dx} \\
= \left. { – \frac{{\ln x}}{{4{x^4}}}} \right|_1^2 + \frac{1}{4}\int_1^2 {\frac{{dx}}{{{x^5}}}} \\
= – \frac{{\ln 2}}{{64}} + \left. {\frac{1}{4}\left( { – \frac{1}{{4{x^4}}}} \right)} \right|_1^2\\
= \frac{{15 – 4\ln 2}}{{256}}
\end{array}$

b) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = \sin x
\end{array} \right.$

Do đó:

$\begin{array}{l}
J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx} \\
= \left( {x\sin x} \right)\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \\
= \frac{\pi }{2} + \cos x\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. = \frac{\pi }{2} – 1
\end{array}$

c) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}
M = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \\
= x{e^x}\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. – \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \\
= e – {e^x}\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. = e – \left( {e – 1} \right) = 1
\end{array}$

d). Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^x}\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = {e^x}dx\\
v = \sin x
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = {e^x}\sin x\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} $

Đặt :$\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = {e^x}\\
d{v_1} = \sin xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d{u_1} = {e^x}dx\\
{v_1} = – \cos x
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = {e^{\frac{\pi }{2}}} + {e^x}\cos x\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = {e^{\frac{\pi }{2}}} – 1\\
\Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = \frac{{{e^{\frac{\pi }{2}}} – 1}}{2}.
\end{array}$

*Lưu ý: Cách đặt u và dv  trong phương pháp tích phân từng phần.

$\int\limits_a^b {P(x){e^x}dx} $$\int\limits_a^b {P(x)\ln xdx} $$\int\limits_a^b {P(x)\cos xdx} $$\int\limits_a^b {{e^x}\cos xdx} $
u P(x) ln(x) P(x) ${e^x}$
dv ${e^x}dx$ P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và $dv={{v}^{‘}}dx$ thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn $dv={{v}^{‘}}dx$ là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:

• Nếu tính tích phân $\int\limits_{\alpha }^{\beta }{P(x)Q(x)dx}$mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: ${{e}^{ax}},\,\ \,\cos ax,\quad \sin ax$ thì ta thường đặt

$\left\{ \begin{array}{l}
u = P(x)\\
dv = Q(x)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = P'(x)dx\\
v = \int {Q(x)dx}
\end{array} \right.$

• Nếu tính tích phân $\int\limits_{\alpha }^{\beta }{P(x)Q(x)dx}$ mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt

$\left\{ \begin{array}{l}
u = Q(x)\\
dv = P(x)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = Q’\left( x \right)dx\\
v = \int {P(x)dx}
\end{array} \right.$

• Nếu tính tích phân $I=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{{{e}^{ax}}\cos bxdx}$ hoặc $ \quad J=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{{{e}^{ax}}\sin bxdx}$ thì

Ta đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^{ax}}\\
dv = \cos bxdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = a{e^{ax}}dx\\
v = \frac{1}{b}\sin bx
\end{array} \right.$

Hoặc đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^{ax}}\\
dv = \sin bxdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = a{e^{ax}}dx\\
v = – \frac{1}{b}\cos bx
\end{array} \right.$

Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.

———————–

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

——————

Xem thêm:

  • Phương pháp tính tích phân
  • Phương pháp tính tích phân từng phần
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 1
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 2
  • Phương pháp tính tích phân bằng nhân liên hợp
  • Phương pháp tính tích phân hàm dưới dấu trị tuyệt đối
  • Phương pháp tính tích phân các hàm có dạng đặc biệt
  • Một số dạng thường gặp trong tính tich phân
  • Ứng dụng tich phân vào tính thể tích
  • Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng

———————–


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!