Bài 8. MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP TRONG TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

I. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

I. Định lý:

Nếu $\int\limits_{{}}^{{}}{f(u(x))u'(x)dx}=F(x)+C$và $t=u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục trên$\left[ a;b \right]$ và$\left\{ \begin{matrix}
x=a\Rightarrow t=\alpha \\
x=b\Rightarrow t=\beta \\
\end{matrix} \right.$ thì:
$\int\limits_{a}^{b}{f(u(x))u'(x)dx}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f(t)dt}=F(t)\left| \begin{matrix}
\beta \\
\alpha \\
\end{matrix} \right.=F(\beta )-F(\alpha )$

Hệ quả:

Nếu $u(x)=ax+b\,\,(a\ne 0)$ thì:$\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f(ax+b)dx}=\frac{1}{a}F(ax+b)\left| \begin{matrix}
\beta \\
\alpha \\
\end{matrix} \right.$

Ví dụ:

Tính
$a)\int\limits_{0}^{1}{{{(2x+1)}^{5}}dx}$
$b)\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\sin (3x+\frac{\pi }{3})dx}$

Giải

a) Đặt $u=2x+1\Rightarrow du=2dx\Rightarrow dx=\frac{du}{2}$ ;
Đổi cận: $\left\{ \begin{matrix}
x=0\Rightarrow u=1 \\
x=1\Rightarrow u=3 \\
\end{matrix} \right.$
Khi đó: $\int\limits_{0}^{1}{{{(2x+1)}^{5}}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{{{u}^{5}}du}=\frac{1}{2}.\frac{1}{6}{{u}^{6}}\left| \begin{matrix}
3 \\
1 \\
\end{matrix} \right.=\frac{1}{12}\left( {{3}^{6}}-1 \right)=\frac{182}{3}$

Bình luận: Tuy nhiên để cho gọn trong cách trình bày, ta có thể áp dụng kỹ thuật đưa vào vi phân và kết quả của định lý trên. Sau đây là cách trình bày:

\[\int\limits_{0}^{1}{{{(2x+1)}^{5}}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{(2x+1)}^{5}}d(2x+1)}=\frac{1}{2}.\frac{1}{6}{{(2x+1)}^{6}}\left| \begin{matrix}
1 \\
0 \\
\end{matrix} \right.=\frac{1}{12}\left( {{3}^{6}}-1 \right)=\frac{182}{3}\]

b) Đặt $u=3x+\frac{\pi }{3}\Rightarrow du=3dx\Rightarrow dx=\frac{du}{3}$.
Đổi cận: $\left\{ \begin{matrix}
x=0\Rightarrow u=\frac{\pi }{3} \\
x=\frac{\pi }{3}\Rightarrow u=\pi +\frac{\pi }{3} \\
\end{matrix} \right.$
Khi đó: \[b)\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\sin (3x+\frac{\pi }{3})dx}=\frac{1}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\pi +\frac{\pi }{3}}{\sin udu}=-\frac{1}{3}.c\text{osu}\left| \begin{matrix}
\pi +\frac{\pi }{3} \\
\frac{\pi }{3} \\
\end{matrix} \right.=\frac{1}{3}\]
Hoặc: \[b)\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\sin (3x+\frac{\pi }{3})dx}=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\sin (3x+\frac{\pi }{3})d(3x+\frac{\pi }{3})}=-\frac{1}{3}.c\text{os}(3x+\frac{\pi }{3})\left| \begin{matrix}
\frac{\pi }{3} \\
0 \\
\end{matrix} \right.=\frac{1}{3}\]

II. Các Dạng đổi biến thường gặp trong Tính tích phân

Dạng1. ${{\int{(ax+b)}}^{\beta }}dx;\left( \beta \ne -1 \right)$

Định lý: ${{\int{(ax+b)}}^{\beta }}dx=\frac{1}{a}.\frac{1}{\beta +1}{{(ax+b)}^{\beta +1}}+C$

Thật vậy: Đặt $u=ax+b\Rightarrow du=a.dx\Rightarrow dx=\frac{du}{a}$
Khi đó: ${{\int{(ax+b)}}^{\beta }}dx=\frac{1}{a}\int{{{u}^{\beta }}du}=\frac{1}{a}.\frac{1}{\beta +1}{{u}^{\beta +1}}+C=\frac{1}{a}.\frac{1}{\beta +1}{{(ax+b)}^{\beta +1}}+C$

Ví dụ:

Tính
$a)\int\limits_{0}^{1}{{{(3x+1)}^{3}}dx}$
$b)\int\limits_{-1}^{1}{{{(5x+1)}^{2015}}dx}$

Giải

a) Đặt$u=3x+1$
Khi đó: $a)\int\limits_{0}^{1}{{{(3x+1)}^{3}}dx}=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{{{(3x+1)}^{3}}d(3x+1)}=\frac{1}{3}.\frac{1}{4}{{(3x+1)}^{4}}\left| \begin{matrix}
1 \\
0 \\
\end{matrix} \right.=\frac{64}{3}$

b) Đặt $u=5x+1$
Khi đó: $b)\int\limits_{-1}^{1}{{{(5x+1)}^{2015}}dx}=\frac{1}{5}\int\limits_{-1}^{1}{{{(5x+1)}^{2015}}d(5x+1)}=\frac{1}{5}.\frac{1}{2016}{{(5x+1)}^{2016}}\left| \begin{matrix}
1 \\
-1 \\
\end{matrix} \right.=\frac{{{6}^{2016}}-{{4}^{2016}}}{10080}$

Dạng 2. ${{\int{f'(x).(f(x))}}^{\beta }}dx$

Định lý: ${{\int{f'(x).(f(x))}}^{\beta }}dx=\frac{1}{\beta +1}{{(f(x))}^{\beta +1}}+C$

Thật vậy: Đặt $u=f(x)\Rightarrow du=f'(x).dx$
Khi đó: ${{\int{f'(x)(f(x))}}^{\beta }}dx={{\int{\left( f(x) \right)}}^{\beta }}d(f(x))=\frac{1}{\beta +1}{{u}^{\beta +1}}+C=\frac{1}{\beta +1}{{(f(x))}^{\beta +1}}+C$

Ví dụ:

Tính
$a)\int\limits_{0}^{1}{x.\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx}$
$b)\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{3}}+1}dx}$

Giải

a) Đặt $u={{x}^{2}}+1\Rightarrow du=2xdx\Rightarrow xdx=\frac{du}{2}$. Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}
x=0\Rightarrow u=1 \\
x=1\Rightarrow u=2 \\
\end{matrix} \right.$

Khi đó: $a)\int\limits_{0}^{1}{x.\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{{{u}^{\frac{1}{2}}}du}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{{u}^{\frac{3}{2}}}\left| \begin{matrix}
2 \\
1 \\
\end{matrix} \right.=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$

Cách 2: Đặt $u=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {{u}^{2}}={{x}^{2}}+1\Rightarrow 2udu=2xdx\Rightarrow xdx=udu$. Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}
x=0\Rightarrow u=1 \\
x=1\Rightarrow u=\sqrt{2} \\
\end{matrix} \right.$

Khi đó: $a)\int\limits_{0}^{1}{x.\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx}=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{{{u}^{2}}du}=\frac{1}{3}{{u}^{3}}\left| \begin{matrix}
\sqrt{2} \\
1 \\
\end{matrix} \right.=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$

Cách đưa vào vi phân:
$a)\int\limits_{0}^{1}{x.\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{{({{x}^{2}}+1)}^{\frac{3}{2}}}\left| \begin{matrix}
1 \\
0 \\
\end{matrix} \right.=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$

Lưu ý: Ta có thể không trình bày bước đặt ẩn phụ mà thực hiện trực tiếp biến đổi (Phần đặt ẩn phụ thực hiện ngoài nháp). Kỹ thật đó được gọi là “Kỹ thuật đưa vào vi phân” nhằm loại bỏ động tác đặt ẩn phụ và tiết kiệm thời gian. Tất cả các bài toán đặt ẩn phụ đều có thể áp dụng kỹ thuật này. Tuy nhiên đặt ẩn phụ tường minh dài hơn nhưng phù hợp với đối tượng học sinh trung bình và yếu.

Đặt $u=\sqrt{{{x}^{3}}+1}\Rightarrow {{u}^{2}}={{x}^{3}}+1\Rightarrow 2udu=3{{x}^{2}}dx\Rightarrow {{x}^{2}}dx=\frac{2}{3}udu$ .
Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}
x=0\Rightarrow u=1 \\
x=1\Rightarrow u=\sqrt{2} \\
\end{matrix} \right.$

Khi đó: \[b)\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{3}}+1}dx}=\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{{{u}^{2}}du}=\frac{2}{9}.{{u}^{3}}\left| \begin{matrix}
\sqrt{2} \\
1 \\
\end{matrix} \right.=\frac{2\left( 2\sqrt{2}-1 \right)}{9}\]

Dạng 3. $\int{\frac{dx}{ax+b}}$ ( Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 1 với $\beta =-1$ )

Định lý:

$\int{\frac{dx}{ax+b}}=\frac{1}{a}\int{\frac{d(ax+b)}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C}$

Ví dụ:

Tính $a)\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{2x+1}}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\frac{d(2x+1)}{2x+1}}=\frac{1}{2}\ln \left| 2x+1 \right|\left| \begin{matrix}
1 \\
0 \\
\end{matrix} \right.=\frac{1}{2}\ln 3$
$b)\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{3x-1}}=\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{\frac{d(3x-1)}{3x-1}=\frac{1}{3}\ln \left| 3x-1 \right|\left| \begin{matrix}
2 \\
1 \\
\end{matrix}=\frac{1}{3}\ln \frac{5}{2} \right.}$

Bài tập thực hành

Tính: $a)\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{3x+2}}$
$b)\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{5x-1}}$
$c)\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{2x-1} \right)dx}$ $d)\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2x-1} \right)dx}$

Dạng 4. ${{\int{e}}^{ax+b}}dx$

Định lý:

${{\int{e}}^{ax+b}}dx=\frac{1}{a}{{\int{e}}^{ax+b}}d(ax+b)=\frac{1}{a}.{{e}^{ax+b}}+C$

Ví dụ:

Tính
$a)\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x+1}}dx}=\frac{1}{2}{{e}^{2x+1}}\left| \begin{matrix}
1 \\
0 \\
\end{matrix} \right.=\frac{1}{2}\left( {{e}^{3}}-1 \right)$
$b)\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{-x}}dx=-{{e}^{-x}}\left| \begin{matrix}
\ln 3 \\
\ln 2 \\
\end{matrix} \right.}=\frac{1}{6}$

Bài tập thực hành

Tính: $a)\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x+2}}dx}$
$b)\int\limits_{\ln 2}^{\ln 5}{{{e}^{-x}}dx}$
$c)\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{\left( {{e}^{-x}}-{{e}^{x}} \right)}dx$ $d)\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2015x+1}}}dx$

Dạng 5. $\int{\sin (ax+b)dx}$; $\int{\text{cos}(ax+b)dx}$

Định lý:

$\int{\sin (ax+b)dx}=\frac{1}{a}\int{\sin (ax+b)d(ax+b)=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C}$
$\int{cos(ax+b)dx}=\frac{1}{a}\int{\text{cos}(ax+b)d(ax+b)=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C}$

Ví dụ:

Tính
$a)\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\sin 2xdx}=-\frac{1}{2}\text{cos2x}\left| \begin{matrix}
\frac{\pi }{3} \\
0 \\
\end{matrix} \right.=\frac{3}{4}$
\[b)\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\text{cos}}\left( \text{x-}\frac{\pi }{6} \right)dx=\sin \left( \text{x-}\frac{\pi }{6} \right)\left| \begin{matrix}
\frac{\pi }{2} \\
0 \\
\end{matrix} \right.=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\]

Dạng 6. $\int{\frac{dx}{si{{n}^{2}}(ax+b)}};\int{\frac{dx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(ax+b)}}$

Định lý:
$\int{\frac{dx}{{{\sin }^{2}}(ax+b)}}=\frac{1}{a}\int{\frac{d(ax+b)}{si{{n}^{2}}(ax+b)}}=-\frac{1}{a}\cot (ax+b)+C$
$\int{\frac{dx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(ax+b)}}=\frac{1}{a}\int{\frac{d(ax+b)}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(ax+b)}}=\frac{1}{a}\tan (ax+b)+C$

Ví dụ:

Tính
$a)\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{dx}{si{{n}^{2}}(2x+\frac{\pi }{6})}}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{d(2x+\frac{\pi }{6})}{si{{n}^{2}}(2x+\frac{\pi }{6})}}=-\frac{1}{2}cot(2x+\frac{\pi }{6})\left| \begin{matrix}
\frac{\pi }{3} \\
0 \\
\end{matrix} \right.=\sqrt{3}$
\[b)\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{dx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(3x+\frac{\pi }{3})}}=\frac{1}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{d(3x+\frac{\pi }{3})}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}(3x+\frac{\pi }{3})}}=\frac{1}{3}\tan (3x+\frac{\pi }{3})\left| \begin{matrix}
\frac{\pi }{3} \\
\frac{\pi }{6} \\
\end{matrix} \right.=-\frac{4}{3\sqrt{3}}\]

Bài tập thực hành

$a)\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{si{n^2}(2x + \frac{\pi }{3})}}} $
$b)\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(3x + \frac{\pi }{3})}}} $
$c)\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{si{n^2}(3x + \frac{\pi }{4})}}} $
$d)\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(2x – \frac{\pi }{3})}}} $

———————–

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

——————

Xem thêm:

  • Phương pháp tính tích phân
  • Phương pháp tính tích phân từng phần
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 1
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 2
  • Phương pháp tính tích phân bằng nhân liên hợp
  • Phương pháp tính tích phân hàm dưới dấu trị tuyệt đối
  • Phương pháp tính tích phân các hàm có dạng đặc biệt
  • Một số dạng thường gặp trong tính tich phân
  • Ứng dụng tich phân vào tính thể tích
  • Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng

———————–


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!