Bài 6. Tích phân-lý thuyết cơ bản

I. Khái niệm cơ bản về tích phân 

1. Diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b], hình phẳng giới hạn bới f(x), trục hoành 0x và hai đường thẳng x = a và x = b được gọi là hình thang cong.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) (Tức là F'(x) = f(x)) thì ta có thể chứng minh được diện tích S của hình thang cong được tính theo công thức:

     \(S=F\left(b\right)-F\left(a\right)\)

2. Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f(x) có một nguyên hàm là F(x). Khi đó, hiệu F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b]) của hàm số f(x) và được kí hiệu là:

    \(\int_a^bf\left(x\right)\text{dx}=F\left(x\right)|^b_a=F\left(b\right)-F\left(a\right)\)

3. Công thức diện tích hình thang cong

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi: f(x); trục hoành 0x và hai đường thẳng x = a và x = b được tính bởi công thức:

    \(S=\int_a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)\); với F(x) là nguyên hàm của f(x)

II. Tính chất của tích phân

TC1:     \(\int_a^bk.f\left(x\right)\text{dx}=k.\int_a^bf\left(x\right)\text{dx}\) (với k là hằng số)

TC2:   \(\int\limits^b_a\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{dx}=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}+\int\limits^b_ag\left(x\right)\text{dx}\)

TC3:  \(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}=\int\limits^c_af\left(x\right)\text{dx}+\int\limits^b_cf\left(x\right)\text{dx}\)

III. Một số dạng bài tập cơ bản

Dạng 1. Tính tích phân

Ví dụ 1: Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 (3x^2-2x+1)dx$.

Giải $I = \int\limits_0^1 {(3{x^2} – 2x + 1)} dx = \left( {{x^3} – {x^2} + x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right. = 1$

ĐS: $I=1$

Ví dụ 2: Tính tích phân: $I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} $.

Giải $I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \int\limits_1^e {\ln xd(\ln x)} = \frac{1}{2}{\ln ^2}x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
e\\
1
\end{array}} \right. = \frac{1}{2}\left( {{{\ln }^2}e – {{\ln }^2}1} \right) = \frac{1}{2}$

Vậy: $I = \frac{1}{2}$

Ví dụ 3: Tính \(\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{1-\cos2x}\text{dx}\)

Giải:  \(\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{1-\cos2x}\text{dx}=\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{2.\sin^2x}\text{dx}\) \(=\sqrt{2}\int\limits^{2\pi}_0\left|\sin x\right|\text{dx}\)

Vì: trong đoạn \(\left[0;\pi\right]\) thì \(\left|\sin x\right|=\sin x\), còn trong đoạn \(\left[\pi;2\pi\right]\) thì \(\left|\sin x\right|=-\sin x\)

         \(=\sqrt{2}\int\limits^{\pi}_0\left|\sin x\right|\text{dx}+\int\limits^{2\pi}_{\pi}\left|\sin x\right|\text{dx}\)\(=\sqrt{2}\int\limits^{\pi}_0\sin x\text{dx}+\sqrt{2}\int\limits^{2\pi}_{\pi}\left(-\sin x\right)\text{dx}\)  

         \(=\sqrt{2}\left(-\cos x\right)|^{\pi}_0+\sqrt{2}\cos x|^{2\pi}_{\pi}\) \(=\sqrt{2}\left(1+1\right)+\sqrt{2}\left(1+1\right)=4\sqrt{2}\)

Bài tập: Tính: $I=\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{x^2-5x+6}$.

Dạng 2. Tính diện tích hình phẳng

Ví dụ: Tính diện tích hình giới hạn bởi đồ thị \(y=\frac{1}{2}x^2\), trục hoành và 2 đường thằng x = 1 và x =4 (xem hình vẽ)

Diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng

Giải

Diện tích hình thang cong bằng:   \(\int_1^4\frac{1}{2}x^2dx=\left(\frac{1}{2}.\frac{1}{3}x^3+C\right)|^4_1=\frac{1}{6}x^3|^4_1=\frac{1}{6}.4^3-\frac{1}{6}.1^3=\frac{63}{6}\)

———————–

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

——————

Xem thêm:

  • Phương pháp tính tích phân
  • Phương pháp tính tích phân từng phần
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 1
  • Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 2
  • Phương pháp tính tích phân bằng nhân liên hợp
  • Phương pháp tính tích phân hàm dưới dấu trị tuyệt đối
  • Phương pháp tính tích phân các hàm có dạng đặc biệt
  • Một số dạng thường gặp trong tính tich phân
  • Ứng dụng tich phân vào tính thể tích
  • Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng

———————–


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!