Các phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. Kiến thức cốt lõi

1. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mp(P) khi và chỉ khi d vuông góc với mọi đường thẳng a thuộc (P).

 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí 1. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{d \bot a}\\
{d \bot b}\\
{a \cap b = I}
\end{array}} \right. \Rightarrow d \bot (a,b)$

Định lý 2: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a \bot (P)}\\
{d//a}
\end{array}} \right. \Rightarrow d \bot (P)$

Định lí 3. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(P) \bot (R)}\\
\begin{array}{l}
(Q) \bot (R)\\
(P) \cap (Q) = d
\end{array}
\end{array}} \right. \Rightarrow d \bot (R)$

Định lý 4. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(P)//(Q)}\\
{d \bot (P)}
\end{array}} \right. \Rightarrow d \bot (Q)$

Định lí 5. Gọi $\overrightarrow u $ là vec tơ chỉ phương của d; $\overrightarrow n $ là véc tơ pháp tuyến của (P). Nếu $\overrightarrow n = k\overrightarrow u ;\left( {k \ne 0} \right)$ thì ${d \bot (P)}$.

Hệ quả: Trong một hình chóp đa giác đều thì đường nối đỉnh và trọng tâm đáy vuông góc mặt phẳng đáy.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD, AB=AC; DA=DC. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng BC vuông góc (ADM).

Giải

Do tam giác ABC cân tại A và AM là trung tuyến suy ra $BC \bot AM$.

Do tam giác DBC cân tại D và DM là trung tuyến suy ra $BC \bot DM$

vậy: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{BC \bot AM}\\
{BC \bot DM}
\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (ADM)$ (đpcm).

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N là trung điểmt BC; CD. G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng $AG \bot (BCD)$.

Giải

Có tam giác ABC đều và AM là trung tuyến suy ra ${BC \bot AM}$

Tam giác BCD đều và DM là trung tuyến suy ra ${BC \bot DM}$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{BC \bot AM}\\
{BC \bot DM}
\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (ADM)$

Mặt khác ta lại có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{BC \bot (ADM)}\\
{AG \subset (ADM)}
\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot AG(1)$

Tương tự có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{CD \bot (ABN)}\\
{AG \subset (ABN)}
\end{array}} \right. \Rightarrow DC \bot AG(2)$

Từ (1) và (2) suy ra: $AG \bot (BCD)$ (đpcm).

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC đều. Gọi G là trọng tâm ABC. Chứng minh rằng $SG \bot (ABC)$.

Giải

Tương tự ví dụ 2 ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD đều. Gọi O là tâm của ABCD. Chứng minh rằng $SO \bot (ABCD)$.

Giải

Do chóp S.ABCD đều nên tam giác SAC cân tại S và SO là trung tuyến suy ra $SO \bot AC$

Do chóp S.ABCD đều nên tam giác SBD cân tại S và SO là trung tuyến suy ra $SO \bot BD$

Vậy ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SO \bot AC}\\
{SO \bot BD}
\end{array}} \right. \Rightarrow SO \bot (ABCD)$ (đpcm).


Xem thêm

 


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!