Chứng minh rằng phương trình ${m^2}{x^7} + 3{x^2} – {m^2}x – 1 = 0$ (với m-tham số) có ít nhất 3 nghiệm với mọi m.

T11.GT.4.3.5. Chứng minh rằng phương trình ${m^2}{x^7} + 3{x^2} – {m^2}x – 1 = 0$ (với m-tham số) có ít nhất 3 nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1. Với $m=0$.

Phương trình có dạng: $3{x^2} – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Trường hợp 2. Với $m \ne 0$.

Đặt: $f(x) = {m^2}{x^7} + 3{x^2} – {m^2}x – 1$.

Ta có hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb {R}$ nên $f(x)$ liên tục trên $\left( { – \infty ; – 1} \right];\left[ { – 1;0} \right]$ và $\left[ {0;1} \right]$.

Mặt khác ta có:

• $f(0) = – 1$ và $f( 1) = 2$ suy ra: $f(0)f( 1) = – 2 < 0$; $\forall m \ne 0$.

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1); $\forall m \ne 0$. (1)

• $f(0) = – 1$ và $f(-1) = 2$ suy ra: $f(0)f(-1) = – 2 < 0$;$\forall m \ne 0$.

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0); $\forall m \ne 0$. (2)

• Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {{m^2}{x^7} + 3{x^2} – {m^2}x – 1} \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^7}\left( {{m^2} + \frac{3}{{{x^5}}} – \frac{{{m^2}}}{{{x^6}}} – \frac{1}{{{x^7}}}} \right) = – \infty $;$\forall m \ne 0$

suy ra: $\exists A \in \mathbb{R}; A < – 1$ sao cho $f(A) < 0$;$\forall m \ne 0$.

Do đó: $f( – 1)f(A) < 0$.

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc ${\left( {A; – 1} \right)}$; $\forall m \ne 0$.(3)

từ (1) , (2) và (3)ta suy ra $f(x) = 0$ có ít nhất 3 nghiệm $\forall m \ne 0$.

Kết luận: Phương trình có ít nhất 3 nghiệm với mọi $m$ (đpcm).

Lưu ý 1: Các giá trị $x=0$; $x=-1$; $x=1$ đều là các giá trị hoặc triệt tiêu $m$ hoặc làm cho $m$ giữ nguyên một dấu (luôn âm hoặc dương). Do đó ta dễ dàng chứng minh được phương trình có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng (-1;1).

Nhưng việc tìm khoảng nghiệm thứ 3 thì khó hơn.

Cụ thể: giả sử tại $x=-2$ thì $f( – 2) = – 1022{m^2} + 11$ ta không thể đánh giá được dấu của f(x) tại $x=-2$ . tương tự tại các giá trị cụ thể $x<-2$.

Lưu ý 2.

• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = – \infty $ thì $\exists A \in \mathbb{R};A < 0$ sao cho: $f(A) < 0$.
• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty $ thì $\exists B \in \mathbb{R};B >0$ sao cho: $f(B) > 0$.

Lưu ý 3. Tại sao ta không chọn khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$?

Nguyên nhân là do $f(1)=2>0$; mà $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty $ nên việc chọn khoảng là $\left[ {1; + \infty } \right)$ vô nghĩa.

Xem thêm:

• Hàm số liên tục.
• Chứng minh Phương trình có nghiệm.