T11.GT.4.3.4. Chứng minh rằng phương trình $m{x^7} + {x^3} + 5{x^2} – mx – 1 = 0$ (với m-tham số) có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
Hướng dẫn giải
Đặt: $f(x) = m{x^7} + {x^3} + 5{x^2} – mx – 1$.
Ta có hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb {R}$ nên $f(x)$ liên tục trên [-1;0] và [0;1].
Mặt khác ta có:
- $f(0) = – 1$ và $f( – 1) = 3$ suy ra: $f(0)f( -1) = – 3 < 0$; $\forall m$. Vậy phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0); $\forall m$. (1)
- $f(0) = – 1$ và $f( 1) = 5$ suy ra: $f(0)f(1) = – 5 < 0$;$\forall m$. Vậy phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1); $\forall m$. (2)
Do (-1;0) và (0;1) là hai khoảng dời nhau. nên từ (1) và (2) ta suy ra $f(x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm với mọi m (đpcm).
Lưu ý: Các giá trị $x=-1$; $x=0$; $x=1$ đều là các giá trị hoặc triệt tiêu $m$ hoặc làm cho $m$ giữ nguyên một dấu (luôn âm hoặc dương).
Xem thêm:
0 Bình luận