T11.GT.4.3.2. Chứng minh rằng phương trình: $ \left( {1 – {m^2}} \right){x^5} + {m^2}{x^2} – 5x – 1 = 0$ (với m-tham số) có ít nhất 3 nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn giải

Đặt: $f(x) = \left( {1 – {m^2}} \right){x^5} + {m^2}{x^2} – 5x – 1 = 0$.

Ta có hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb {R}$ nên $f(x)$ liên tục trên [-2;-1] ; [-1;0]; [0;2].

Mặt khác ta có:

  • $f(0) = – 1$ và $f( – 1) = 3$ suy ra: $f(0)f( -1) = – 3 < 0$;$\forall m$ . Vậy phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0) ;$\forall m$. (1)
  • $f( – 2) = – 28{m^2} – 23$ và $f(-1) = 3$ suy ra: $f(-2)f(-1) < 0$;  $\forall m$. Vậy phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc (-2;-1); $\forall m$. (2)
  • $f( 2) = 33{m^2} +21$ và $f(0) = -1$ suy ra: $f(0)f(2) < 0$; $\forall m$. Vậy phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc (0;2); $\forall m$. (3)

Từ (1),(2) và (3) ta suy ra phương trình: $f(x) = 0$ có ít nhất 3 nghiệm với mọi m.(đpcm).

Lưu ý: Các giá trị $x=-2$; $x=-1$; $x=0$; $x=2$ đều là các giá trị hoặc triệt tiêu $m$ hoặc làm cho $m$ giữ nguyên một dấu (luôn âm hoặc dương).


Xem thêm:


0 Bình luận

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

error: Content is protected !!