Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$.  Gọi $I,K,G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,A’B’C’$ và $ACC’$. Chứng minh $\left( IGK \right)\parallel \left( BB’C’C \right)$ và $\left( A’KG \right)\parallel \left( AIB \right)$.

T11.HH.II.000005.

Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$.  Gọi $I,K,G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,A’B’C’$ và $ACC’$. Chứng minh $\left( IGK \right)\parallel \left( BB’C’C \right)$ và $\left( A’KG \right)\parallel \left( AIB \right)$.

Giải

a) Chứng minh $\left( IGK \right)\parallel \left( BB’C’C \right)$.

Gọi $O,M,E,F$lần lượt là trung điểm của $AC’,AC,BC,B’C’$.

Chứng minh $\left( IGK \right)\parallel \left( BCC’B’ \right)$.

Ta có $\frac{MI}{MB}=\frac{MG}{MC’}\Rightarrow IG\parallel CC’\subset \left( BCC’B’ \right)$$\Rightarrow IG\parallel \left( BCC’B’ \right)\text{ }\left( 1 \right)$

Tương tự $\frac{A’G}{A’C}=\frac{OA’+\frac{1}{3}OA’}{A’C}$

$=\frac{\frac{4}{3}OA’}{A’C}=\frac{2}{3}$.

Lại có $\frac{A’K}{A’F}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{A’G}{A’C}=\frac{A’K}{A’F}$

$\Rightarrow GK\parallel CF\subset \left( BCC’B’ \right)$$\Rightarrow GK\parallel \left( BCC’B’ \right)\text{  }\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $\left( IGK \right)\parallel \left( BCC’B’ \right)$.

b) Chứng minh $\left( A’KG \right)\parallel \left( AIB \right)$.

Chứng minh $\left( A’KG \right)\parallel \left( AIB’ \right)$.

Dễ thấy $AA’FE$ là hình bình hành nên $A’F\parallel AE$ hay $A’F\parallel \left( AIB’ \right)\text{  }\left( 3 \right)$. Cũng dễ thấy $CF\parallel EB’\subset \left( AIB’ \right)\Rightarrow CF\parallel \left( AIB’ \right)\text{ }\left( 4 \right)$

Từ $\left( 3 \right),\left( 4 \right)$ suy ra $\left( A’CF \right)//\left( AIB’ \right)$ mà $\left( A’CF \right)$

chính là $\left( A’KG \right)$ nên $\left( A’KG \right)\parallel \left( AIB’ \right)$.

————————-

Xem thêm: Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song.