Hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo $AC$ và $BF$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM=BN$. Các đường thẳng song song với $AB$ vẽ từ $M,N$ lần lượt cắt $AD,AF$ tại $M’,N’$. Chứng minh $\left( BCE \right)\parallel \left( ADF \right)$ và $\left( D\text{EF} \right)\parallel \left( MNN’M’ \right)$.

T11.HH.II.000003. Hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo $AC$ và $BF$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM=BN$. Các đường thẳng song song với $AB$ vẽ từ $M,N$ lần lượt cắt $AD,AF$ tại $M’,N’$.

a) Chứng minh $\left( BCE \right)\parallel \left( ADF \right)$.

b) Chứng minh $\left( D\text{EF} \right)\parallel \left( MNN’M’ \right)$.

Giải

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
BE\parallel AF\\
AF \subset \left( {ADF} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow EB\parallel \left( {ADF} \right)$

Tương tự $BC\parallel \left( {ADF} \right)$

Từ đó ta có $\left( {BCE} \right)//\left( {ADF} \right)$

b) Vì $MM’\parallel AB\Rightarrow MM’\parallel CD$ nên theo định lí Thales ta có

$\frac{AM}{AC}=\frac{AM’}{AD}\text{ }\left( 1 \right)$.

Tương tự $NN’\parallel AB\Rightarrow \frac{BN}{BF}=\frac{AN’}{AF}\text{ }\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\frac{AM’}{AD}=\frac{AN’}{AF}$

$\Rightarrow M’N’\parallel DF\subset \left( DEF \right)$$\Rightarrow M’N’\parallel \left( DEF \right)$.

Lại có $MM’//CD\parallel EF\Rightarrow MM’\parallel \left( DEF \right)$$\Rightarrow \left( DEF \right)\parallel \left( MNN’M’ \right)$.

Xem thêm: Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song.