I. Các kiến thức cần nhớ 

• ${x^2} = a \ge 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt a $.
• $\forall a;a = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt {{a^2}} \begin{array}{*{20}{c}}
  {khi}&{a \ge 0}
  \end{array}}\\
  { – \sqrt {{a^2}} \begin{array}{*{20}{c}}
  {khi}&{a < 0}
  \end{array}}
  \end{array}} \right.$
• $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$.
• Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:$\underbrace {a.a.a….a}_{n – so} = {a^n}$.

II. BÀI TẬP vận dụng

Bài 1: Rút gọn  K = $2\left( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x}+1}{{{x}^{2}}-x} \right)$ (với $x>0;x\ne 1$)

Bài giải:

K = $2\left( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x}+1}{{{x}^{2}}-x} \right)=2\left[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\sqrt{x}} \right]:\frac{\sqrt{x}+1}{x\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}$

$=\frac{2}{\sqrt{x}.\left( \sqrt{x}-1 \right)}:\frac{1}{x\left( \sqrt{x}-1 \right)}=2\sqrt{x}$

Bài 2: Rút gọn  B = $\left( \frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$ với $x\ge 0;x\ne 25$

Bài giải:

Với $x\ge 0;x\ne 25$ ta có:

B = $\left( \frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}=\frac{15-\sqrt{x}+2\left( \sqrt{x}-5 \right)}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$

$=\frac{\sqrt{x}+5}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}.\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$

Bài 3: Cho B = $\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$ với $x\ge 0;x\ne 1$. Chứng minh: B = $\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

Bài giải:

Với $x\ge 0;x\ne 1$, ta có:

B = $\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}=\frac{3\sqrt{x}+1}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$

$=\frac{3\sqrt{x}+1-2\left( \sqrt{x}-1 \right)}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{\sqrt{x}+3}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

Vậy với $x\ge 0;x\ne 1$ thì B = $\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

Bài 4: Rút gọn: B = $\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\ge 0,x\ne 25$.

Bài giải:

Với $x\ge 0,x\ne 25$ ta có:

B = $\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}+5 \right)\left( \sqrt{x}-5 \right)}$

$=\frac{3\left( \sqrt{x}-5 \right)+20-2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}+5 \right)\left( \sqrt{x}-5 \right)}=\frac{\sqrt{x}+5}{\left( \sqrt{x}+5 \right)\left( \sqrt{x}-5 \right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$

Vậy B = $\frac{1}{\sqrt{x}-5}$

Bài 5: Rút gọn: B = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}$ với $x\ge 0;x\ne 9$.

Bài giải:

Với $x\ge 0;x\ne 9$ ta có:

B = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}$

$=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+3 \right)+2\sqrt{x}-24}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}=\frac{x+5\sqrt{x}-24}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}=\frac{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+8 \right)}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$

Vậy B = $\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$ (điều phải chứng minh)

Bài 6: Rút gọn: Q = $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}$ với $x>0;x\ne 4$.

Bài giải:

Với $x>0;x\ne 4$ ta có:

Q = $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)+5\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$

$=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

Vậy Q = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

Bài 7: Rút gọn biểu thức A = $\frac{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}$ với $x\ge 0;\,\,\,x\ne 1$.

Bài giải:

Với $x\ge 0;\,\,\,x\ne 1$ ta có:

A = $\frac{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}=\frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}-\frac{3\sqrt{x}+1}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}$

$=\frac{2x+2}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}-\frac{3\sqrt{x}+1}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{\left( 2\sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

Bài 8: Rút gọn biểu thức P = $\frac{3x+5\sqrt{x}-4}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}$ với $x\ge 0;x\ne 1$.

Bài giải:

Với $x\ge 0;x\ne 1$ ta có:

P = $\frac{3x+5\sqrt{x}-4}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}$

P = $\frac{3+5\sqrt{x}-4}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}-\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}+\frac{{{\left( \sqrt{x}+3 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}$

P = $\frac{3x+5\sqrt{x}-4-x+1+x+6\sqrt{x}+9}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}$

P = $\frac{3x+11\sqrt{x}+6}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( 3\sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}$

Bài 9: Rút gọn: P = $\frac{1}{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}:\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}$ với $x>0;x\ne 1$.

Bài giải:

Với $x>0;x\ne 1$ ta có:

P = $\frac{1}{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}:\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}\left[ {{\left( \sqrt{x} \right)}^{3}}-1 \right]}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}$

$=\frac{1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}.\frac{\sqrt{x}\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}=\frac{1}{x-1}$

Vậy P = $\frac{1}{x-1}$

Bài 10: Rút gọn biểu thức B = $\left( \frac{x+14\sqrt{x}-5}{x-25}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} \right):\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ với $x\ge 0$ và $x\ne 25$ .

Bài giải:

Với $x\ge 0$ và $x\ne 25$ ta có:

B = $\left( \frac{x+14\sqrt{x}-5}{x-25}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} \right):\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}=\left( \frac{x+14\sqrt{x}-5}{\left( \sqrt{x}+5 \right)\left( \sqrt{x}-5 \right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} \right):\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$

$\begin{align} & =\frac{x+14\sqrt{x}-5+\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-5 \right)}{\left( \sqrt{x}+5 \right)\left( \sqrt{x}-5 \right)}.\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+2} \\ & =\frac{2x+9\sqrt{x}-5}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}.\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+2}=\frac{\left( 2\sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}.\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+2} \\ & =\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2} \\ \end{align}$

Vậy B = $\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$

Xem thêm: Căn bậc hai.