T9.ĐS.I.1.1. Căn bậc hai

I. Các định nghĩa

1. Định nghĩa 1

Căn bậc hai của một số không âm $a$ là số x sao cho x^2 = a.

Ví dụ: Số 4 có hai căn bậc hai là 2 và -2 (vì 22=4 và (-2)2=4).

Hệ quả:

  • Theo định nghĩa thì: ${\left( {\sqrt a } \right)^2} = a$ và ${\left( { – \sqrt a } \right)^2} = a$.

Do vậy, mỗi số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là ${\sqrt a }$ và số âm kí hiệu là ${ – \sqrt a }$.

  • Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết √0 = 0.

2. Định nghĩa 2

Với số dương \(a,\) số \(\sqrt a \) được gọi là căn bậc hai số học của \(a.\)

Qui ước: Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Ví dụ: Tìm căn bậc hai số học của số 9.

Giải

Ta có: 3>0 và 32=9. Vậy căn số học của 9 là \(\sqrt 9=3\).

II. Tính chất

Tính chất 1. 

$\forall a;a = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {{a^2}} \begin{array}{*{20}{c}}
{khi}&{a \ge 0}
\end{array}}\\
{ – \sqrt {{a^2}} \begin{array}{*{20}{c}}
{khi}&{a < 0}
\end{array}}
\end{array}} \right.$

Ví dụ 1: $2 = \sqrt {{2^2}} = \sqrt 4 $.

Ví dụ 2. $ – 2 = – \sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2}} = – \sqrt 4 $

=> Rất nhiều học sinh nhầm lẫn khi đưa một số vào trong căn bậc hai.

Tính chất 2. 

Với mọi $ a \ge 0$ ta luôn có: ${x^2} = a \ge 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt a $

Ví dụ: ${x^2} = 2 \ge 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 $

Tính chất 3. 

$\forall a \in \mathbb{R} ;\sqrt {{{\left( a \right)}^2}} = \left| a \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
a&{khi}&{a \ge 0}
\end{array}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{ – a}&{khi}&{a < 0}
\end{array}}
\end{array}} \right.$

Ví dụ 1: $\sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2}} = \left| { – 2} \right| = 2$.

Ví dụ 2: Tìm x biết ${x^2} = 25$.

Giải:

Ta có: ${x^2} = 25 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2}} = \sqrt {25} = 5 \Leftrightarrow \left| x \right| = 5 \Leftrightarrow x = \pm 5$

Tính chất 4

Với hai số \(a;b\) không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b \).

Ví dụ 1: So sánh 3 và \(\sqrt 7\)

Ta có: \(3 = \sqrt 9 \) mà \(9 > 7\) suy ra \(\sqrt 9 > \sqrt 7 \) hay \(3 > \sqrt 7 \)

III. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm các căn bậc hai của $\frac{{25}}{4}.$

Giải

Ta có: $\frac{{25}}{4} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {\frac{{25}}{4}} = \sqrt {\frac{{{5^2}}}{{{2^2}}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}} = \frac{5}{2}}\\
{ – \sqrt {\frac{{25}}{4}} = – \sqrt {\frac{{{5^2}}}{{{2^2}}}} = – \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}} = – \frac{5}{2}}
\end{array}} \right.$

Vậy: $\frac{{25}}{4}$ có hai căn bậc hai là: ${\frac{5}{2}}$ và ${ – \frac{5}{2}}$.

Ví dụ 2. Đưa thừa số ra khỏi dấu căn bậc hai: $\sqrt {72} .$

Giải

Phân tích ra thứ số nguyên tố số 72 ta được: $72 = 2.36 = {2.6^2}$

Suy ra: $\sqrt {72} = \sqrt {2.36} = \sqrt {{{2.6}^2}} = 6\sqrt 2 $.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 16 (cm2). Tính cạnh của hình vuông.

Giải

Gọi x (cm) là cạnh của hình vuông, suy ra: x>0.

Ta có: $S = {x^2} = 16 = > \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > 0}\\
{x = \pm \sqrt {16} = \pm 4}
\end{array}} \right. \Rightarrow x = 4$

Vậy cạnh của hình vuông là 4(cm).

Ví dụ 4. Cho K = $2\left( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x}+1}{{{x}^{2}}-x} \right)$ (với $x>0;x\ne 1$)

    a) Rút gọn biểu thức K.

    b) Tìm $x$ để K = $\sqrt{2020}$

    Bài giải:

    K = $2\left( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x}+1}{{{x}^{2}}-x} \right)=2\left[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\sqrt{x}} \right]:\frac{\sqrt{x}+1}{x\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}$

    $=\frac{2}{\sqrt{x}.\left( \sqrt{x}-1 \right)}:\frac{1}{x\left( \sqrt{x}-1 \right)}=2\sqrt{x}$

    b) Để K = $\sqrt{2020}$ thì $2\sqrt{x}=\sqrt{2020}$

    $\Leftrightarrow 2\sqrt{x}=2\sqrt{505}$

    $\Leftrightarrow x=505$ (thỏa mãn điều kiện)

    Vậy $x=503$

    IV. Luyện tập

    Bài 1: Cho hai biểu thức A = $\frac{4\left( \sqrt{x}+1 \right)}{25-x}$ và B = $\left( \frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$ với $x\ge 0;x\ne 25$

    1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=9$

    2) Rút gọn biểu thức B.

    3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức P=A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

    Bài giải:

    1) Với $x=9$ ta có:

    A = $\frac{4\left( \sqrt{9}+1 \right)}{25-9}=\frac{4\left( 3+1 \right)}{16}=1$

    Vậy với $x=9$ thì giá trị của biểu thức A là: 1.

    2) Với $x\ge 0;x\ne 25$ ta có:

    B = $\left( \frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}=\frac{15-\sqrt{x}+2\left( \sqrt{x}-5 \right)}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$

    $=\frac{\sqrt{x}+5}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}.\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$

    3) Với $x\ge 0;x\ne 25$ ta có:

    P = A.B = $\frac{4\left( \sqrt{x}+1 \right)}{25-x}.\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{4}{25-x}$

    +) Với $25-x<0\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,x>25$ thì P < 0

    +) Với $25-x>0\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,x<25$ thì P > 0

    Để P nhận giá trị lớn nhất thì $25-x>0$ và $25-x$ nhận giá trị nhỏ nhất.

    Mà: $x$ là số nguyên nên $25-x=1\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,x=24$

    Vậy P nhận giá trị lớn nhất là: P = $\frac{4}{25-24}=4$ khi $x=24$

    Bài 2: Cho hai biểu thức A = $\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}$ và B = $\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$ với $x\ge 0;x\ne 1$.

    1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=9$.

    2) Chứng minh: B = $\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

    3) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $\frac{A}{B}\ge \frac{x}{4}+5$

    Bài giải:

    1) Với $x=9$(thỏa mãn điều kiện của biểu thức A) ta có:

    A = $\frac{\sqrt{9}+4}{\sqrt{9}-1}=\frac{7}{2}$

    Vậy với $x=9$ thì giá trị của biểu thức A là: $\frac{7}{2}$

    2) Với $x\ge 0;x\ne 1$, ta có:

    B = $\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}=\frac{3\sqrt{x}+1}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$

    $=\frac{3\sqrt{x}+1-2\left( \sqrt{x}-1 \right)}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{\sqrt{x}+3}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

    Vậy với $x\ge 0;x\ne 1$ thì B = $\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

    3) Với $x\ge 0;x\ne 1$, ta có:

    $\begin{align} & \frac{A}{B}\ge \frac{x}{4}+5\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}:\frac{1}{\sqrt{x}-1}\ge \frac{x}{4}+5 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{x}+4\ge \frac{x}{4}+5 \\ & \Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+4\le 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x}-2 \right)}^{2}}\le 0 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{x}-2=0 \\ \end{align}$

    $\Leftrightarrow x=4$ (thỏa mãn điều kiện)

    Vậy $x=4$

    Bài 3: Cho hai biểu thức A = $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và B = $\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\ge 0,x\ne 25$.

    1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=9$

    2) Chứng minh B = $\frac{1}{\sqrt{x}-5}$

    3) Tìm tất cả giá trị của $x$ để $A=B.|x-4|$

    Bài giải:

    1) Với $x=9$ (thỏa mãn điều kiện xác định của biểu thức A) ta có:

    A = $\frac{\sqrt{9}+2}{\sqrt{9}-5}=-\frac{5}{2}$

    Vậy với $x=9$ thì A = $-\frac{5}{2}$

    2) Với $x\ge 0,x\ne 25$ ta có:

    B = $\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}+5 \right)\left( \sqrt{x}-5 \right)}$

    $=\frac{3\left( \sqrt{x}-5 \right)+20-2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}+5 \right)\left( \sqrt{x}-5 \right)}=\frac{\sqrt{x}+5}{\left( \sqrt{x}+5 \right)\left( \sqrt{x}-5 \right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$

    Vậy B = $\frac{1}{\sqrt{x}-5}$ (điều phải chứng minh)

    3) Với $x\ge 0,x\ne 25$ ta có:

    $\begin{align} & A=B.|x-4|\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}=\frac{1}{\sqrt{x}-5}.|x-4| \\ & \Leftrightarrow \sqrt{x}+2=|x-4| \\ \end{align}$


    Xem thêm:

    0 Bình luận

    Trả lời

    Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

    error: Content is protected !!