Chuyên đề: Tìm hệ số của đa thức trong khai triển NIU-TƠN (nâng cao)

I. Kiến thức cơ bản

1.Công thức nhị thức Newton

Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên dương ta có:

• ^{${{\left( a\text{ }+\text{ }b \right)}^{n}}=\text{ }{{c}^{o}}_{n}{{a}_{n}}+\text{ }{{c}^{1}}_{n}{{a}^{n\text{ }\text{ }1}}b\text{ }+\text{ }{{c}^{2}}_{n}{{c}_{1}}^{n\text{ }\text{ }2}{{b}^{2}}+\text{ }\ldots \text{ }+\text{ }{{c}^{k}}_{n}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}+\text{ }…+\text{ }{{c}_{n}}^{n}{{b}^{n}}$} 
•  ^{${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=n}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\,(*)$}

2.Các nhận xét về công thức khai triển

+ Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở vế trái.

+ Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n.

+ Các hệ số của khai triển lần lượt là:            C⁰_n;        C¹_n;      C²_n; … C^n-1_n;   Cⁿ_n;

Chú ý: C^k_n = Cⁿ_n^–k      0 < k < n.   $C_{n}^{k}=\frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}$

3.Một số dạng đặc biệt

+ Dạng 1: Thay a = 1; b = x vào (*) được: (1 + x)ⁿ = C⁰_n + C¹_n x + C²_n x² + …+ C^n-1_n x^n-1 + Cⁿ_n xⁿ

+ Dạng 2: Thay a = 1; b = -x vào (*) được: (1 – x)ⁿ = C⁰_n – C²_n x+ C²_nx² +  …+ (-1)ⁿ Cⁿ_n xⁿ

4.Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức

+ Thay x = 1 vào (2) ta được:             C⁰_n + C¹_n  + C²_n + …+ Cⁿ_n  = 2ⁿ

+ Thay x = -1 vào (3) ta được:            C⁰_n – C¹_n  + C²_n – …+ (-1)ⁿ Cⁿ_n  = 0

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển đa thức của: ${{\left[ 1+{{x}^{2}}-{{x}^{3}} \right]}^{8}}$

Giải: 

Ta có: ${{\left[ 1+{{x}^{2}}-{{x}^{3}} \right]}^{8}}$ =${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}$

Áp dụng khai triển Niu tơn với a=1 và b=x²(1-x) ta được:  \[f\left( x \right)={{\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}\left[ {{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{2k}}{{\left( 1-x \right)}^{k}}}\]

Áp dụng khai triển niu tơn với a’=1 và b’=-x ta được: \[f(x)={{\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{2k}}\left[ \sum\limits_{i=0}^{k}{{{\left( -1 \right)}^{i}}}C_{k}^{i}{{x}^{i}} \right]}}^{{}}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{8}^{k}}}C_{k}^{i}{{\left( -1 \right)}^{i}}{{x}^{2k+i}}.\]

Vậy ta có hệ số của x⁸ là: ${{\left( -1 \right)}^{i}}C_{8}^{k}C_{k}^{i}$ thoả mãn:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\rm{\;}}&{0 \le i \le k \le 8}\\
{}&{2k + i = 8}\\
{\rm{\;}}&{i,k \in N}
\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}
{{\rm{\;\;\;}}}\\
{{\rm{\;\;}}(*){\rm{\;}}}\\
{{\rm{\;\;\;}}}
\end{array}$

Lập bảng:

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\rm{\;}}&{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\rm{\;}}&{i = 0}\\
{\rm{\;}}&{k = 4}
\end{array}} \right.}\\
{\rm{\;}}&{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\rm{\;}}&{i = 2}\\
{\rm{\;}}&{k = 3}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$   thỏa mãn (*).

Vậy: Hệ số trong khai triển của x⁸ là:${{\left( -1 \right)}^{0}}C_{8}^{4}C_{4}^{0}+{{\left( -1 \right)}^{2}}C_{8}^{3}C_{3}^{2}$=238

Bài tập áp dụng

Bài 1.  Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của:\[A=x{{\left( 1-2x \right)}^{7}}+\text{ }{{x}^{2}}{{\left( 1-3x \right)}^{12}}\]

Bài 2. Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển \[A={{\left( 1+{{x}^{2}}\left( 1+x \right) \right)}^{7}}\]thành đa thức.

Bài 3. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁴ khi khai triển\[F(x)={{\left( 1+2x+3{{x}^{2}} \right)}^{10}}\].

Xem thêm: Khai triển Newton

Tài liệu Dowload: Bài tập nhị thức Niu-Tơn (nâng cao)